2016-2017学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案
一、填空题
1．{}0,1 2．π2 3．(2,1) 4．12 5．1
2
- 6．[e,)+∞ 7． 8．
12 9．6 10．3
5
- 11．1 12．0 13．[1,2)[4,)+∞U 14．{}4,24- 二、解答题
15．（1）当1a =-时，[)1,1B =-，由于[)0,3A =， 所以[)1,3A B =-U ．…………6分 （2）由A B B =I ，得B A ⊆，………………………………………………………9分
于是0,23,a a ⎧⎨⎩
+≥≤即01a ≤≤，
所以，a 的取值范围是[]0,1．…………………………………………………14分 16．（1）因为145⋅=-a b ，所以14
2cos 2sin 5
αα-+=， 即7
sin cos 5
αα-=
，……………………………………………………………2分 于是22749(sin cos )12sin cos ()5
25
αααα-=-==， 从而24
2sin cos 25
αα=-
．………………………………………………………4分 因此，2241(sin cos )12sin cos 12525
αααα+=+=-
=．……………………6分 （2）因为//a b ，所以2cos (2)sin 0αα--⋅=，即cos sin 0αα+=，……………8分 于是tan 1α=-，………………………………………………………………10分 因此，πsin(π)sin()sin cos 2
αααα-⋅+=⋅ …………………………………12分
222
sin cos tan 1
sin cos tan 12
αααααα⋅=
==-++．………14分 17.（1）根据表中已知数据可得：3A =，ππ
62
ωϕ+=，2π3π32ωϕ+=，解得2ω=，π6ϕ=. 数据
补全如下表：
…………………………………………………………………………………………3分
函数表达式为π
()3sin(2)6
f x x =+.……………………………………………5分
（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，
所以π
()3sin()6g x x =+．………………………………………7分
当ππ[,]33x ∈-时，πππ
[,]662x +∈-，
所以π1
sin()[,1]62
x +∈-．
于是函数)(x g 的值域为3
[,3]2
-．………………………………………………9分 （3）由（1）可得，π()3sin(22)6
h x x q =++， 由()h x 图象的一个对称中心为π(,0)12可得，π
()012
h =， 所以π
π3sin(22)012
6q ?+
=，即π
sin(2)03
q +=，………………………12分 从而π2π,3k k Z q +
=?，解得ππ
,26
k k Z q =-?， 由0q >可得，当1k =时，q 取得最小值
π
3
.…………………………………14分
18．（1）m =()
1=-a ，于是⋅=a b ，……………………………3分 又2=a ，1=b ，
所以cos θ⋅=
=a b a b []0,θ∈π，所以6
θ5π
=．…………………6分
（2）①因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即()1102m -=+，得m =．………8分
②m =时，2=a ，1=b ，
由()
()2
3t k t ⎡⎤-⊥-⎣⎦++a b a b ，得()
()230t k t ⎡⎤-⋅-=⎣⎦
++a b a b ， 因为0⋅=a b ，所以(
)
2
2
2
30k t t --=+a b
，于是()2
34
t
t k -=
，…………12分
故()()23222341174324444
k t t t t t t t t t -==-=+-+++，
当2t =-时，2
k t t
+取最小值74-．…………………………………………16分
19．（1）当甲的用水量不超过5吨时，即55x ≤，1x ≤时，乙的用水量也不超过5吨，
()2.65320.8y x x x ==+；…………………………………………………2分
当甲的用水量超过5吨，乙的用水量不超过5吨，即55,
35,x x >⎧⎨
⎩≤513x <≤时， ()5 2.64553 2.627.87y x x x =⨯⨯-⨯=-++；……………………………4分
当乙的用水量超过5吨，即35x >，5
3
x >时，
()()25 2.6435553214y x x x =⨯⨯⨯⎡--⎤=-⎣⎦++.…………………………6分
所以20.8,01,527.87,1,353214,.3x x y x x x x ⎧
⎪⎪
⎪
=-<⎨⎪
⎪
->⎪⎩
≤≤≤ …………………………………………………7分
（2）由于()y f x =在各段区间上均单调增，
当[]0,1x ∈时，()134.7y f <≤；……………………………………………9分
当5(,)3x ∈∞+时，5()34.73
y f >>；…………………………………………11分 当5(1,]3
x ∈时，令27.8734.7x -=，解得 1.5x =.…………………………13分 所以甲户用水量为57.5x =（吨）， 付费15 2.6 2.5423y =⨯⨯=+(元)； 乙户用水量为3 4.5x =（吨），
付费2 4.5 2.611.7y =⨯=(元)．………………………………………………15分
答：甲户该月的用水量为7.5吨、水费为23元，
乙户该月的用水量为4.5吨、水费为11.7元．………………………………16分 20．（1）由函数2()45f x x x a =++-的对称轴是2x =-，
知()f x 在区间[]1,1-上是增函数， …………………………………2分 因为函数在区间[]1,1-上存在零点，则必有：
()()1010f f ⎧-⎪⎨
⎪⎩≤≥即80
0a a -⎧⎨⎩≤≥，解得08a ≤≤，
故所求实数a 的取值范围为[]0,8． ………………………………4分
（2）若对任意的[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x =成立，
只需函数()y f x =的值域是函数()y g x =的值域的子集． …………………6分 当0a =时，2()45f x x x =+-，[]1,2x ∈的值域为[]0,7， ………………… 7分 下面求1()427x g x m m -=⋅-+，[]1,2x ∈的值域． 令14x t -= ，则[1,4]t ∈，27y mt m =-+
①当0m =时，()7g x =为常数，不符合题意，舍去；
②当0m >时，()g x 的值域为[]7,27m m -+，要使[][]0,77,27m m ⊆-+， 需70
277m m -⎧⎨+⎩
≤≥，解得7m ≥；
③当0m <时，()g x 的值域为[]27,7m m +-，要使[][]0,727,7m m ⊆+-， 需2707m m +⎧⎨-⎩≤≥7
，解得7
2m -≤；
所以2()(2)4464f t f t t t --=++=-，
即2820t t +-=，解得4t =--4t =-+（舍去）； ②当26t -<-≤时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，(2)f -最小， 所以(2)(2)1664f f t --==-，解得5
2
t =-； ③当3
22
t -<<
时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，()f t 最小， 所以2(2)()41264f f t t t t -=--+=-，
即26t =，解得t =或t =，所以此时不存在常数t 满足题意；
综上所述，存在常数t 满足题意，4t =--5
2
t =-．……………………16分。