锥坡体积公式推理
注：H-锥坡高度
t-锥坡铺砌厚度
1:n,1:m为横、纵坡比
一、准备：
1、椭圆面积为公式：S=πRr 。

2、椭圆周长公式：L=2πR+4(R-r)或L=π(R+r)。

3、四个锥坡平面图形正好组成一个椭圆图形。

4、椭圆标准式：122
22=+r
y R x
5、图形关系：c=m m 21+t 、b=2
1m +t; d=n n 21+t 、a=21n +t 。

6、令A=m m 21+、B=n
n 2
1+ 、D= AB+(A+B)
2
、E=(A+B)AB ÷2 、
F=1.5(A+B)
所以b=Amt,a=Bnt,(c+d) ÷2=(A+B)÷2t
二、锥坡体积公式：
1、一个锥坡V 锥=
12
π
RrH 2、扣除铺砌厚度后锥坡体积：V 2=12π(R-a)(r-b)(H-2
d c +)
3、锥坡铺砌圬工体积： V 锥- V 2=
12πRrH-12π(R-b)(r-a)(H-2d
c +)
=12π
( mH* nH *H-(mH-Amt) (nH-Bnt) (H-(A+B)t ÷2) =12π
mn( H* H *H-(H-At) (H-Bt) (H-(A+B)t ÷2) =12π
mn(H 3-(H 2-BHt-AHt+ABt 2)( H-(A+B)t ÷2) =12
π
mn(H 3-( H 3-BH 2t-AH 2t+ABHt 2-(A+B) H 2t ÷2 +(A+B)BHt 2÷2) +(A+B)AHt 2÷2-(A+B)ABt 3÷2)
=
12
π
mn (H 3- H 3+BH 2t+AH 2t-ABHt 2+(A+B) H 2t ÷2 -(A+B)BHt 2÷2) -(A+B)AHt 2÷2+(A+B)ABt 3÷2)
=12πmn H 3
(B H t +A H t -AB 22H t +(A+B) H
t ÷2 -(A+B)B 22H t ÷2)
-(A+B)A 22H t ÷2+(A+B)AB 33
H
t ÷2)
=
12π
mn H 3[((B+A) +(A+B) ÷2) H
t
-( AB+(A+B)B ÷2+(A+B)A ÷2)22H t +(A+B)AB 33
H
t ÷2]
=12πmn H 3[1.5(A+B)) H
t -( AB+(A+B) 2)22
H t +(A+B)AB 33H t ÷
2]
=12πmn H 3
[F H
t -D 22H t +E 33H t ]
三、锥坡基础体积公式：
V 基=4T π[(R+e)(r+e)-(R-b)(r-a)]
=
4T π[(Hm+e)(Hn+e)-( Hm -b)( Hn -a)]
=
4T π[(H 2mn+ Hme+ Hne+e 2)-( H 2mn- Hma- Hnb+ab)] =
4T π[H 2mn+ Hme+ Hne+e 2- H 2mn+ Hma+ Hnb-ab)] =
4T π[ Hme+ Hne+e 2 + Hma+ Hnb-ab)] =
4
T π[ (Hm+ Hn)e + H(ma+ nb)-ab+e 2)]
由上式1.6知b=Amt,a=Bnt
所以V 基=
4T
π[ (Hm+ Hn)e + H(mBnt+ nAmt)-ABmnt 2+e 2)] =4
T
π[ (Hm+ Hn)e + Hmnt(B+ A)-ABmnt 2+e 2)]
注:本推理中的变量a,b 与小桥涵手册P427中变量所指位置不一样,做公式有所差别。

二者相差e ，关系是a 本=b+e,b 本=a+e。