2007-2008学年第一学期《数值分析与数学建模》课程考核题目说明：本次考核题目共有五个部分，请从每一部分中任选一题作答。

选择时请注意：每题难度不同分值也有所不同。

完成时间：2007－2008学年第二学期开学第一周前三个工作日，过期无效。

答卷提交方式：手写稿或打印稿请直接交到5号楼202室；电子稿可以发送Email 至 tzl99@ 。

要求：（1）标清题号；（2）列出关键的数学模型及模型中各参数的含义；（3）可利用Matalb 软件中相关库函数直接求解，请注明你所用到的关键函数及其作用；（4）也可以在建立模型之后，自行选择数值分析课程中介绍的合适算法并利用Matlab 软件编程实现；如此，你将获得额外加分；（5）对得到的结果加以适当评价，以及对问题本身提出相应的思考与改进，也将获得额外加分； （6）鼓励相互讨论，不允许相互抄袭；雷同（绝大部分相同）答卷按无效答卷处理，不予记录成绩；若某些题目解答完全相同，则该题不得分。

第一部分说明： Ex1、Ex2每题10分；Ex3~Ex6每题15分Ex1：以定期存储为基础的储蓄账户的累积值可由“定期年金方程”确定，]1)1[(-+=ni iP A ；在这个方程中，A 是账户中的数额，P 是定期存储的数额，i 是n 个存储期间的每期利率。

一个工程师想在20年内退休时储蓄账户上的数额达到750000美元，而为了达到这个目标他每个月能存1500美元。

为实现他的储蓄值目标，最小利率应是多少？假定利息是月复利的。

Ex2：在固定的时期内需付抵押贷款的数额问题和下面的称为“普通年金方程”的公式有关，])1(1[ni iP A -+-=在这个方程中，A 是抵押贷款的数额，P 是每期付款的数额，i 是n 个付款期的每期利率。

假设需要30年房屋按揭贷款135000美元，又假设借款人每月至多能付1000美元房款。

借款人能付得起的最大利率是多少？Ex3：病人用的药在血流中产生的浓度由mlmg et A t c t 3)(-=给出（注射了A 单位药物后的t小时以后血液中药物的浓度）。

病人能够承受的药物最大安全浓度是1 ml mg 。

（1）分别利用微积分知识以及Matlab 软件描绘出浓度随时间变化的图形；（2）应该注射多大的量来达到最大的安全浓度？什么时候达到这个最大的安全浓度？（3）在浓度下降到0.25ml mg 后，要给病人注射这种药的附加的药量。

确定何时应进行第二次注射，精确到分钟；（4）假设连续注射的浓度是可加的，又假设开始注射的75％的药量仍在第二次注射中起作用。

什么时候可以进行第三次注射？Ex4：Logistics （逻辑）人口增长模型由下面的方程描述ktL ceP t P --=1)(（注：关于人口增长还有很多其他模型，可以自己查阅相关资料）其中，c P L ,和0>k 为常数，)(t P 为t 时刻人口的数量。

L P 代表人口的极限值（因为L t P t P =→∞)(lim ），下表给出了从1940年到1990年的美国人口（按千人计）表一：美国人口统计表利用1950年，1960年，1970年的人口普查数据来确定逻辑增长模型中的常数kc P L ,,，并使用此模型来预测美国在1980年和2010年的人口。

将预测值与实际值比较。

重新选择一组三个不同年份的数据确定模型中的参数，并重新预测，与第一次预测有什么区别？哪一个更好？为什么？还可以如何利用所给数据更准确的确定模型中的参数？Ex5：Gompertz （龚珀兹）人口增长模型由下式给出，ktceL eP t P --=)(使用此模型解答Ex4中提出的问题。

Ex6：两个梯子交叉靠在一个宽为W 的胡同的两面墙上。

每个梯子从一面墙的底部靠在对面墙的某点。

两梯子相交点距离地面的高度为H 。

假设两个梯子的长度分别是20英尺和30英尺，又假设H ＝8英尺，求W 。

（如下图） 图一：梯子摆放示意图第二部分说明： Ex7、Ex8、Ex9每题15分，Ex10题20分Ex7： 假设在一个生物系统中有n 种动物和m 个食物来源。

设j x 表示第j 种动物的数量，i b 表示第i种食物的日常供给；ij a 表示由第j 种动物平均消耗的第i 种食物的数量。

线性方程组，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111表示一种供求平衡，这里每日的食物供给恰好满足每种动物的日平均消耗。

（1）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1122013021)(ij a A ，]400,350,500,1000[)(==j x x ，和]900,2700,3500[)(==i b b 。

是否有足够的食物满足平均的日消耗？（2）能够单独加到系统中而食物供给仍能满足消耗的每种动物的最大数目是多少？ （3）如果第一种动物绝种，余下的每种动物能够增加多少，让系统仍能支持？ （4）如果第二种动物绝种，余下的每种动物能够增加多少，让系统仍能支持？Ex8：在一篇名为“Population Waves ”的文章中，Bernadelli 假设了一种具有3年自然生命期的简化的甲虫。

此种群中的雌虫在第一年的存活率为21，从第二年到第三年存活率为31，在第三年末死亡前平均生产6个新的雌虫。

可用一个矩阵证明在概率意义下，一个雌虫对于种群中的雌虫数量做出的贡献，设矩阵)(ij a A =中的ij a 表示年龄为j 的一个雌虫对于下一年年龄为i 的雌虫数量的贡献，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==03100021600)(ij a A（1）因而一个雌虫对于2岁的甲虫所做的贡献由A 2中元素决定，对3岁甲虫所做的贡献由A 3中元素决定，等等。

请给出一个雌虫对于n 年内的甲虫数量的贡献。

（2）在未来年份里对于开始在每个年龄组中有6000个雌虫的此种甲虫组会有什么情况发生？ （3）计算A －1，并说明它对此种群数量的重要性。

Ex9：食物链的研究是在生活的意义下确定环境污染物的传播和积聚方面的一个重要主题。

假定食物链有三个链节。

第一个链节由植物类型n v v v ,,,21 组成，它对于第二个链节中的食草物种m h h h ,,,21 提供了所有食物需求。

第三个链节由食肉动物k c c c ,,,21 组成，它们的食物供给完全依靠第二个链节中的食草动物。

矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n mm a a a a a a a a a A212222111211的元素ij a 表示由j h 种类的食草动物所吃掉的植物类型i v 的总量，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mk m m kk b b b b b b b b b B212222111211 的元素ij b 表示由j c 种类的食肉动物所吃掉的类型为i h 的食草动物总量。

（1）求最终由j c 种动物消灭的i v 类植物的数量； （2）矩阵A －1 ，B －1 ，（AB ）－1 =B －1 A －1 有何实际重要性？Ex10: 利用Matlab 软件编写通用的Gauss_Seidel 迭代法和Jacobi 迭代法求方程组解的程序，并利用你所编写的程序解下面的三个线性方程组，在编程时注意统计迭代次数以及迭代成功或失败的信息；注意比较两种不同方法的收敛性及收敛速度。

(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++--=++3103220241225321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=++-=+-52432212321321321x x x x x x x x x (3)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+5222722321321321x x x x x x x x x 第三部分：说明：Ex11题5分；Ex12~Ex14每题10分；Ex15题15分；Ex16题20分 Ex11：确定常数110,,x c c ，使得下面的求积公式具有最高可能的代数精度，并指明按照你所求出的系数，该公式具有几次代数精度？)()0()(11010x f c f c dx x f +=⎰Ex12：人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。

我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439 km ，远地点距离地球表面2384 km ，地球半径为6371km ，求该卫星的轨道长度。

（需要用到的知识：椭圆的参数方程；第一类曲线积分即对弧长的曲线积分；数值积分方法；）鼓励利用Matlab 软件自行编写步长自动选择的复化Simpson 公式程序进行计算，将有额外加分。

Ex13：一辆汽车用84 s 的时间行驶完跑道的一圈。

汽车的速度每隔6 s 用雷达测速仪确定，数据如下（单位：ft / s ）表二：汽车行驶速度求跑道的长度。

（采用不同方法得出结果并进行比较将有额外加分。

）Ex14：在液体中移动的质量为m 的一微粒受粘滞阻力R 的影响，这里R 是速度v 的函数。

阻力R 、速度v 和时间t 之间的关系由方程⎰=)()(0)(t v t v du u R m t给出。

假设对于一特定的液体有vv v R -=)(，其中R 的单位为Newton ，v 的单位为m/s 。

如果m=10kg 和v(0)=10m/s ，求为了减慢到v=5m/s ，微粒所需时间的近似值。

Ex15：为了模拟碟式刹车的热特性（见下图），D.A.Secrist 和R.W.Hornbeck 需要根据下面的方程求制动片的“区平均排列温度”T 的近似值⎰⎰=00)(r r p r r p eedrr drr r T T θθ其中，e r 代表蹄片与制动轮的接点开始的半径，0r代表蹄片与制动轮接点的外半径，p θ代表扇形制动片所对的角度，)(r T 是制动片上每一个点的温度（根据对热传导方程的数值分析得到）。

假设ft308.0=e r ，ft478.00=r ，弧度7051.0=p θ，又假设下表中给出的温度是在制动轮上的不同点计算出来的。

求T 的近似值。

表三：制动轮的温度图二：碟式刹车制动轮示意图Ex16：方程0.45dt 2122=-⎰tx eπ可以用Newton 迭代法求出根x ，取0.45dt 21)(22-=-⎰tx ex f π及2221)(xex f -='π采用非线性方程求根的Newton 迭代法，需要计算一个积分dt2122tx ek -⎰π使用Newton 法（取x0=0.5）和复化Simpson 法则求方程f(x)=0的根的近似值（要求使用Matlab 软件自行编写程序）；采用复化梯形法代替上面的Simpson 法重新计算。

（如果对所得结果的截断误差做出正确评价，将获得额外加分。

） 第四部分说明：Ex17题10分；Ex18、Ex19每题15分；Ex20题20分；Ex21题25分Ex17：利用Ex4中给出的数据，用Lagrange 插值求在1930年、1965年和2010年的人口的近似值。