大连理工大学应用数学系 数学与应用数学专业2005级试卷
课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页
一、填空（每一空2分，共42分）
1．为了减少运算次数，应将表达式.543242
16171814131
1681
x x x x x x x x -+---++- 改写为_______；
2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dx e x ⎰-1
02
求得的近似值为 ，
用Simpson 公式求得的近似值为 。

1．设函数()1,0,1)(3-∈S x s ，若当1-<x 时，满足0)(=x s ，则其可表示
为 。

4．已知12)2(,6)1(,0)0(===f f f ,则=]1,0[f ,=]2,1,0[f ，逼近)(x f 的Newton 插值多项式为 。

5．用于求()01=--=x e x f x 的根0=x 的具有平方收敛的Newton 迭代公式为： 。

6．已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=000101000-A ，则A 的Jordan 标准型是 ；
7．设A 是n 阶正规矩阵，则=2A ；
8．求解一阶常微分方程初值问题t u t t u +-=')1()(2，00)(u t u =的向后（隐式）
Euler 法的显式化的格式为： 。

姓名： 学号：
院系：
班级： 授课教师：张宏伟 装
订
线
9．设001.211=a 12为x 的近似值，且2105.0-⨯≤-a x ，则a 至少有 位有效数字；
10．将()T
4,3=x ，化为()T
0,5=y 的Householder 矩阵为： ；
11．=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∑
∞
=k
k 0105.00
； 12．用二分法求方程3()2510f x x x =--=在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。

13．若
()()∑⎰=≈n
k k
k
x f A dx x f 0
1
()2≥n 为
Newton-Cotes 求积公式，则
=∑=n
k k k
x A
，若为Gauss 型求积公式，则=∑=n
k k k x A 0
4。

14．设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=122151A ，则在Schur 分解H URU A =中，R 可取为 。

15．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A ，则=t
A e , =t e t d d A 。

二、（8分）已知近似值21.11=a ，65.32=a ，81.93=a 均为有效数字，试估计算术运算3
2
13a a a a ⋅+的相对误差界。

三、（15分）设线性方程组：
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+=+7
424343321
212
1x x
x x x x x （1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算 1A ，∞L ，1
m U 和2x ；
（2）试问用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组是否收敛？
（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi 、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。

四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题),()(u t f t u ='，
00)(u t u =的数值方法
()n n n n n n f f f h
u u u ++=--++++1212838
2121
①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解u u 20-='，1)0(=u 。

为使方法绝对稳定，求出步长h 的取值范围并以10=u ，11=u 初值，01.0=h 为步长，求出)02.0(u 的近似值2u 。

五、（15分）
（1） 用Schimidt 正交化方法，构造[1,1]-上以1)(≡x ρ权函数的正交多项式系：)(0x φ，)(1x φ，)(2x φ，)(3x φ;
（2）构造计算1
1(),f x dx -⎰ 具有5次代数精度的数值求积公式；
（3） 利用2)的结果求出⎰40
sin dx x
x
的数值解。

六、证明题（5分）任选一题
1．设n n ⨯∈C B A ,均为可逆矩阵，且齐次线性方程组()0=+x B A 有非零解，证明：对于n n ⨯C 中的任何矩阵范数⋅，都有11≥-B A 。

2． 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，求出k
A ，证明
()
2
1
1k
k k A k
∞
=-∑
收敛。