P 1 | F (n 0 ) | F (0) 2 | F (n 0 ) |2 0.1806
2 2 n =1 4 4
n = —4
P 0.1806 1 90% P 0.200
Fn
1 25
8
2
40
40
n 0
周期信号的功率谱
吉伯斯现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲（肩峰），过冲峰值不随谐波分量增加而 减少，且约为跳变值的9% 。
2


T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) dt
2
若 x（t）存在相应的 X（nω0），则平均功率可写成
1 p T0

T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt

1 p T0
1 T0
1 T0

T0 / 2
T0 / 2

x ( t ) x ( t ) dt
谱线只在基波频率的整倍数处出现，具有非周期性 的离散频谱，即线谱。信号周期T越大，ω 0就越小，则 谱线越密。反之，T越小，ω 0越大，谱线则越疏。
2、幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱 随着谐波n0增大 时， 幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就 越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变 化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱 衰减越慢。
物理意义：信号的能量主要集中在有效带宽内, 因此 若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号 产生明显影响。
2．3．3 离散频谱与功率分配
周期信号是功率信号。如果信号 x(t) 表示为加在1欧姆电 阻两端的电压或通过的电流，则其瞬时功率为 x2(t)，平均 功率为：
1 p T0

T0
0
1 | x ( t ) | dt T0
§2-2 周期信号的傅立叶级数（时域分析）
2.2.1 周期信号的描述
x (t) = x ( t +n T0 ) , t ∈(-∞ , +∞)
T0
2 0

1 f0
2.2.1 周期信号的描述
x(t)
T
周期为Tl和周期为T2的两个(或多个)周期信号相加，可能 是周期信号，也可能是非周期信号。这主要取决于在这两个周 期Tl和T2之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数T0能同时 被Tl和T2所整除。若存在最小公倍数，则有
(n 0, 1, 2, 3, )
2 T an x(t ) cos( n1t )dt T 0
2 T bn x(t ) sin( n1t )dt T 0
( n=1, 2, 3, …
)
周期信号展开为傅立叶级数条件（三个有限）
(1) 周期信号f(t)应满足Dirichlet条件，即绝对可积：
2 a0 T0
2 an T0
2 bn T0



T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t )dt
x ( t ) cos n 0 tdt
n=0,1,2,3,…
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) sin n 0 tdt
n=0,1,2,3,…
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
k
当 Δ→0， 则kΔ→τ，Δ→dτ，




最后求得x（t）的准确表达式为：
x(t ) x( ) (t )d

上式表明任何一个非周期信号可以由一系列不同强度 (x(τ)dτ)，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。 该式也即第一章所说的 卷积函数 x(t)*δ(t) 。即：
mn mn

n
| X (n ) |
0
2
1 T0 / 2 2 2 p x(t ) dt | X (n0 ) | n T0 T0 / 2
该式反映了周期信号的平均功率与离散频谱之间的关系， 称为功率信号的帕斯瓦尔公式(Parseval’s Formular)。也称 帕斯瓦尔功率守恒定理
u ( t ) (t)
所以
x(0)[u(t) u(t )] x(0)[u(t)] x(0) (t) x()[u(t ) u(t 2)] x() (t )
……
故有：
x(t)
k
x (k)



( t k)
kΔ
x(t ) x(0)[u(t ) u(t )] x()[u(t ) u(t 2)]
x(k)[u(t k) u(t k )]
根据第一章冲激信号的定义以及它与阶跃信号的关系有：
du ( t ) (t ) lim (t ) dt 0
该式说明周期信号在时域的平均功率等于频域各谐波分 量(含直流量) 功率之和，因此每个分量幅度大小的变化， 反映了功率分布的变化规律。
周期信号的功率频谱： |Xn|2 随nω0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简 称功率谱。
例题 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/) 内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。

离散性
谐波性
收敛性
周期矩形脉冲信号的频谱图
n0 A F (n0 ) Sa( ) T 2
Fn
A / T

2
2


n 0
0 2 / T
3、信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即
B
2

信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其ω B越小；反之， 越小，其ω B越大。
n1Tl＝n2T2 T1／T2＝n2／n1＝rational number nl，n2 positive integer
T 0 0
2
1 f0
例，已知
x1 (t ) A1 cos 6t
2 1 T1 1 6 3 2
x2 (t ) A2 cos10t
2 1 T2 2 10 5 2
jn0t


T0 / 2
T0 / 2

( X (n0 )e
n

)( X (n0 )e
n
T0 / 2

jn0t
) dt
n n

X(n 0 )X (n 0 )

T0 / 2
e j( n m )0 t dt

2 | X (n0 ) | n 0
X（nω0）从x（t）的傅里叶级数表示式中，获得反映信号 全貌的三个基本特征，即基频、各谐波的幅度和相位。
X (n0 ) | X (n0 ) | e
频谱特性
j ( n0 )
幅频特性
相频特性
周期矩形脉冲信号频谱图
E=10v， T0=1s，τ =0.2s
2．3．2 频谱的特性 周期信号的频谱是由 间隔为ω 0 的谱线组成 1、离散性
x(t) (t) x(t ) x( ) (t )d


上式表明，任意连续时间函数与冲激函数相卷积仍等于 原来时间函数。
将非周期信号分解为冲激信号的线性组合，对线性系统 的时域分析具有重要理论意义和实际意义。
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
傅立叶级数展开的两种形式： 三角傅立叶级数和指数型傅立叶级数 这种方法也可称周期信号的时域分析
1、三角傅立叶级数
a0 x(t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1

1、三角傅立叶级数
a0 x(t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1

x(t )
n
X (n0 )e jn0t
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数X(nω0) 不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 X(nω0)是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度 和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
§2-3 周期信号的频域分析
用频率函数来描述任意信号的方法称为信号的频域分析 2．3．1 频谱分析
T1 5 n1 有理数 T2 3 n2
Tl，T2最小公倍数为：
（n1=3 , n2=5）
T3=n1Tl＝n2T2=1 T3=1
所得的信号仍然是周期信号，其基本周期
2.2.2
周期信号的傅立叶级数展开
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合（函数集合） 意义： (1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量 的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 (2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利 用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应 而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。
第二章 连续时间信号分析
连续时间信号的时、频域分析 常用及奇异信号的频域分析 傅里叶变换（级数）的基本性质及应用 傅里叶变换的卷积性质 非周期信号的能量密度 拉普拉斯变换

§2-1 概述
用三角函数集或复指数函数集作为正交函数集对 函数进行分解，称这种分析方法为“傅里叶分析 (Fourier analysis)”方法，该方法因法国数学家傅 里叶(J．Fourier，1768—1830)于1822年提出并证明 的“周期函数展开为正弦级数的原理”而得名。傅里 叶分析方法是一种频域分析方法，它包括用于对周期 信 号 进 行 频 域 分 析 的 “ 傅 里 叶 级 数 分 析 (Fourier series analysis)”和用于对任意信号进行频域分析 的 “ 傅 里 叶 变 换 分 析 (Fourier transform analysis)”。