高二数学圆锥曲线基础练习题（一）一、选择题：１.抛物线x y 42=的焦点坐标为 ﻩ ( ） A ．)1,0( ﻩＢ.)0,1( C ． )2,0(D ．)0,2(2．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （ ）ﻩA.14-ﻩB ．4- C.4 D ．143.双曲线221916x y -=的一个焦点到渐近线距离为 （ )ﻩA ．６ B.5 C ．4 D.3４．已知△ＡBC 的顶点Ｂ、C 在椭圆错误!＋ｙ2=１上,顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是 （ ） ﻩA.2＼ｒ(，3） ﻩB.６C.4 3 ﻩD ．1２5.已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4,则m 等于 ﻩ( ) A.4 ﻩＢ．5 C ．7 ﻩD.86.已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=． 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = ﻩ( ) ﻩA ． 5 ﻩB.４ ﻩC ．3 ﻩD ．27．将抛物线2(2)1y x =-+按向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量ａ的坐标是（ ) ﻩA.(2,1)--B ．(2,1) ﻩC.(2,1)-D ．(2,1)-8．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ,P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥,12||||2PF PF ⋅=,则该双曲线的方程是 ﻩ（ ）A.13222=-y x ﻩＢ．12322=-y x ﻩC.1422=-y x D ．1422=-y x 9．设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点,则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 ﻩ( ) ﻩA.充要条件 ﻩＢ.必要不充分条件１0.已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点,且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 ﻩ（ )A.24 ﻩB.36 ﻩC.48 ﻩD ．96１1.已知点Ｐ在抛物线24y x =上,那么点P 到点Q （２,-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为 ﻩﻩ（ ）A ．（14,-1) Ｂ.(14，1) ﻩC.(1，2) Ｄ．(1，－2)１2．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,则以线段2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（ ）ﻩA.内切ﻩB ．外切 C.内切或外切ﻩＤ.不相切二、填空题:１3．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是ﻩ ﻩ;1４．已知Ｐ是椭圆2214x y +=在第一象限内的点,Ａ(2，0）,Ｂ（0,1)，O 为原点，求四边形O ＡPB 的面积的最大值_____＿___;15.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ；1６.若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为_______;以(ｍ，n ）为点Ｐ的坐标,过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有_＿_＿个。

三、解答题:1７．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在ｘ轴上,若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. (I ）求椭圆的标准方程；（II)设直线l :m x y +=,是否存在实数m,使直线l 椭圆有两个不同的交点M 、Ｎ,且AN AM =,若存在,求出 m 的值；若不存在，请说明理由.１8．如图，椭圆by a x 222+=1（a ＞b>0）与过点A （2,0）B （０,1)的直线有且只有一个公共点Ｔ，且椭圆的离心率23=e . （I)求椭圆方程；(ＩＩ）设Ｆ1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,求证:2121||||||2AT AF AF ＝.19．已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1.(Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程; (Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值.２0．已知△OFQ 的面积为26OF FQ m ⋅=. （I)646m ≤≤求OFQ ∠正切值的取值范围; (II)设以O 为中心，Ｆ为焦点的双曲线经过点Q （如图),26||,1)OF c m c ==-,当 ||OQ 取得最小值时, 求此双曲线的方程。

21．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是102０m,试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)22.已知抛物线C :22y x =,直线2y kx =+交C 于A B ，两点,M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ,若存在,求k 的值；若不存在,说明理由．参考答案一、选择题 １．B ．2.A.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴ m ＝14-．3．C.4．C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC ∆的周长为4ａ=35．D ．由题意,得 24c =,2c =.222,10a m b m =-=-，代入222a b c =+,有2104,m m -=-+即8m =.6.Ａ. 由课本知识,得知双曲线的渐近线方程为30x ay -=,或者30x ay +=.与已知的渐近线方程30x y -=对应，立得正数1a =．显然,由双曲线定义有122PF PF a -=，所以15PF =.7.A. 将抛物线方程配方，得2(2)1x y -=-．画图，知道a (2,1)=--． 8．C.显然双曲线的特征量5c =21PF PF ⊥得，222124PF PF c +=.对于关系122PF PF a -=,两边平方，得22444c a -=,即2214a c =-=，于是21b =．从而双曲线的方程是1422=-y x . 9.A.1０.Ｃ.∵双曲线22:1916x y C -=中,3,4,5a b c ===, ∴()()125,0,5,0F F - ∵212PF F F =,∴12261016PF a PF =+=+=. 作1PF 边上的高2AF ,则18AF =．∴26AF == ∴12PF F ∆的面积为12111664822PF PF ⋅=⨯⨯=. 11．A .将点Ｐ到抛物线焦点距离转化为点P 到准线距离，容易求得当PQ ∥x 轴时，P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小，令1y =-，得14x =,故点Ｐ 为(14，-１),选A. 1２．Ｃ. 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P 分别在左、右两支时,两圆相内切、外切. 二、填空题13.2 ．由于x y 42=的准线是1-=x ，所以点p 到1-=x 的距离等于P 到焦点F 的距离，故点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到x =1-的距离之和的最小值是2=FA . 14．21５．２． 由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =,则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯=.16．0<ｍ2+ｎ2<3, 2. ∵直线mx+n ｙ-3=0与圆x 2+y ２=3没有公共点,∴3＼ｒ(m 2+n 2)>错误!，解得０<m ２+ｎ２<３.∴错误!,即点P(m ,ｎ)在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 三、解答题17.（I ）依题意,设椭圆的方程为,1222=+y ax 设右焦点为(c,０），则3222=+c ------－----4分2=∴c a 2=b 2+ｃ2=３-------－--－-------－--－6分 ∴椭圆方程为1322=+y x .(II ）设M(x 1,y 1),N(ｘ2,y 2）, 由 22,1,3y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得４ｘ2+6m ｘ+3ｍ2-3=０. 当判别式△>0 时,4)1(3,2322121-=⋅-=+∴m x x m x x221my y =+∴ ----－--－-----－-9分 AN AM = 22222121)1()1(++=++∴y x y x∴)22(23+-=-mm , 故 m ＝2,但此时判别式0=∆，∴满足条件的m 不存在． -－－-----－------－--１2分 1８.解：(Ⅰ)过 A 、B 的直线方程为 12x y +=.ﻫ由题意得22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩有惟一解． ﻫ即2222221()04b a x a x a b +-+=有惟一解,所以 2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠ -－-－-----------－-－3分 故22440a b +-=.因为2c =,即22234a b a -= , 所以224a b = 从而, 得 2212,,2a b ==ﻫ故所求的椭圆方程为22212x y +=. ---－-－－－---－－－--－-6分ﻫ（Ⅱ）由(Ⅰ)得c =, 所以12(F F . 由 22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩ 解得 121,x x ==, --－--－----------－-9分因此1(1,)2T =． 从而 254AT=，因为1252AF AF ⋅=， 所以21212AT AF AF =⋅. -----------－--－---12分 19.解：(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1y x =+.因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=.-－----－-----－-----2分 因为A C ，在椭圆上,所以212640n ∆=-+>,解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，,则 1232nx x +=,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+. 所以 122ny y +=. ---------------－--4分 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，. 由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上, 所以3144n n=+，解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． -－---－－-----－----7分 （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=,所以AB BC CA ==.所以菱形ABCD的面积2S =. ------------－-----9分 由(Ⅰ)可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭. 所以当0n =时，菱形ABCD的面积取得最大值－---－－---－-------1２分２0．解:（I ）设OFQ θ∠=, 则||||cos()1||||sin 2OF FQ mOF FQ πθθ⎧⋅-=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩tan m θ⇒=- . -－－----------－-3分6m ≤≤,4tan 1θ∴-≤≤-. －----------－---－--５分(II ）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b-= >> =-则∴11||||2OFQ S OF y ∆=⋅= ∴1y c=±． 又∵OF FQ m ⋅=,∴2111(,0)(,)()(14OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅=- )． -－－--－----－----－-9分211,||x OQ x∴= ∴==当且仅当4c =时，||OQ 最小,此时Q 的坐标是或22222266141216a ab b a b ⎧⎧-==⎪⎪∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩, 所求方程为221.412x y -= －-－－－－---－-－------12分 ２1.解:如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为ｘ轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、Ｃ分别是西、东、北观测点，则A(-10２0,0）,B （1020，０)，C(０,1020). -－----－－-－-3分 设P （x ,y ）为巨响发生点，由A 、Ｃ同时听到巨响声，得｜PA|＝｜PC|,故P 在AC 的垂直平分线P Ｏ上,P Ｏ的方程为y =-x ，因B 点比A 点晚4ｓ听到爆炸声,故 ｜PB|－｜P Ａ｜=３40×４＝13６0． ---－--------－--－-－6分由双曲线定义知Ｐ点在以Ａ、Ｂ为焦点的双曲线22221x y a b-=上,依题意得a =6８０,ｃ＝10２0,∴b 2=c 2-a 2＝10２02-6８02＝５×3402，故双曲线方程为错误!. －----－－－－--９分 用y =-x 代入上式，得ｘ=±６80５， ∵|P Ｂ|>|ＰA|,∴ｘ=-68０错误!，y ＝68０错误!, 即P （－68０＼ｒ(５）,6８05), 故PO ＝68010.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680１0 m 处. --－-－--－-－---－--－－12分２2． 解：(Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，, 把2y kx =+代入 22y x =得2220x kx --=， －－----－-－由韦达定理得122k x x +=,121x x =-, ∴1224N M x x k x x +===， ∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，.设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=,------------------5分 直线l 与抛物线C 相切,2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭,m k ∴=．即l AB ∥. --－－------－-－-----7分 (Ⅱ)假设存在实数k ，使0NA NB =,则NA NB ⊥.又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． －--－-－－--－－-------9分由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴,22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． ---－－－--------－－--１2分.2,16141816.16121)1(4)2(14)(1||1||2222222212212212±=+⋅+=+∴+⋅+=-⨯-⋅+=-+⋅+=-⋅+=k k k k k k k k x x x x k x x k AB 解得又即存在2k =±,使.0=⋅ ------－---－－－-----1４分。