• 例1.5 用图解法求解线性规划问题：
• 两个水泥厂至工地的单位运价如表1.2所示。 • 问：如何组织调运使总运费最省。
• 解 设xij为甲、乙两个水泥厂分别运到A、 B、C 3个工地的水泥袋数，则可以得出如 表1.3所示的数据表。
• 由题意容易得到如下数学模型：
min z=x11+1.5x12 +2x13 +2x21+4x22 +2x23
• 问：最少需要多少名服务员？试建立该 问题的线性规划模型。
• 解 现设xj为第j时段开始上班工作的服 务员数（j = 1,2,3,4,5,6），又设z为服务 员总的人数。
• 由题意得到如下数学模型：
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6
（1-5）
1.1.2 线性规划的一般数学模型
s.t.
a21x1
a22
x2
a1n xn ≤ b1 a2n xn ≤ b2
am1x1 am2 x2 amn xn ≤ bm x j≥0, j 1, 2, , n
（1-7）
• 建立一个实用的线性规划模型必须明确 以下四个组成部分的含义： • 第一，决策变量。
• 决策变量是模型中的可控而未知的因素， 经常使用带不同下标的英文字母表示不同
1.2
线性规划的图解法
1.1 线性规划及其数学模型
1.1.1 案例
• 例1.1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每 台销售后的利润分别为4 000元与3 000元。
• 生产甲机床需用A、B两种机器加工，加 工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙 机床需用A、B、C三种机器加工，加工时 间为每台各1小时。
• 这些成分可由市场购买的A、B、C 3种原 料混合后得到。
• 已知各种原料的单价、成分含量以及各 种成分每月的最低需求量如表1.4所示。
• 解 现设x1、x2、x3为原料A、B、C的购 买数量，因为x1、x2、x3≥0，设z为总的耗 费资金，则min z = 6x1 + 3x2 + 2x3。
• 由题意容易得到如下数学模型：
• 若每天可用于加工的机器时数分别为A机 器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问 该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总 利润最大？
• 例1.2 有A、B、C三个工地，每天A工地 需要水泥17百袋，B工地需要水泥18百袋， C工地需要水泥15百袋。
• 为此，甲、乙两个水泥厂每天生产23百袋 水泥和27百袋水泥专门供应3个工地。
• 自从1947年G. B. Dantzig提出求解线性规 划的单纯形方法以来，线性规划在理论上 日趋成熟，在实际应用中日益广泛与深入。
• 特别是在计算机能处理成千上万个约束 条件和决策变量的线性规划问题之后，线 性规划的适用领域更为广泛了，已成为现 代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划及其数学模型
第1章 线性规划图解法
学习目标
通过介绍几个简单的实际问题，建立线 性规划模型。 应用图解法，培养和提高学生分析问题、 解决实际问题的能力。 培养优化思想，能用一定的数学方法实 现优化。
• 在人们的生产实践中，经常会遇到如何 利用现有资源来安排生产，以取得最大经 济效益的问题。
• 此类问题构成了运筹学的一个重要分 支—数学规划，而线性规划（Linear Programming，LP）则是数学规划的一个 重要分支。
• 第三，约束条件。
• 约束条件是指实现系统目标的限制性因 素，通常表现为生产力约束、原材料约束、 能源约束、库存约束等资源性约束，也有 可能表现为指标约束和需求约束，如式 （1-7）中的前m个式子。
• 第四，非负限制。
• 由于在生产实际问题中，资源总是代表 一些可以计量的实物或人力，因而一般不 能是负数，如式（1-7）中的最后一个式子。
• 从简单到复杂、从具体到抽象是人类认 识客观事物的一般过程，首先讨论用图解 法解决只包含两个变量的线性规划问题正 是尊重人类认识规律的具体体现。
• 虽然在实际问题中，只有两个决策变量 的小问题是很少见的，但图解法能揭示线 性规划问题解的一些基本概念，并为解决 大规模线性规划问题提供原则性的指导。
的变量，如式（1-7）中的xj。
• 第二，目标函数。
• 线性规划模型的目标是求系统目标的极值， 可以是求极大值，如企业的利润和效率等， 也可以是求极小值，如成本和费用等。
• 式（1-6）即为最优化目标函数，简称目 标函数。
• 式中opt即optimize（最优化）的缩写， 根据问题要求不同，可以表示为max（最 大化）或min（最小化）。
• 由式（1-6）和式（1-7）两式组成的线性 规划模型还可以用下列的矩阵式表示，即
opt z = CX
s.t.
AX ≤ B X≥O
1.2 线性规划的图解法
• 上一节列举了四个把实际问题构造成线 性规划数学模型的例子，初步解决了模型 构造问题。
• 如何求解数学模型以获得问题的最优解 自然成为了本节关心的焦点。
min z = 6x1 + 3x2 + 2x3
x1 x2 x3≥20源自s.t.1 2x1
1 2
x2
1 4
x3≥6
2x1 x2 x3≥10 x1, x2,x3≥0
（1-4）
• 例1.4 一家昼夜服务的饭店，一天24小时 分成6个时段，每个时段需要的服务员数如 表1.5所示。
• 每个服务员每天连续工作8小时，且在每 个时段开始时上班。
• 线性规划模型的目标是企业利润的最大化。
• 在不考虑产品销售情况的理想状态下，将 资源尽可能地配置到利润率更高的产品上去， 并尽可能减少资源的浪费，是实现线性规划 模型总目标的关键所在。
• 一般线性规划模型可以表示如下：
opt
z
c 1
x1
c2 x2
cn xn （1-6）
a11x1 a12 x2
x11 x12 x13 23
x21
x22
x23
27
s.t.
x11 x12
x21 x22
17 18
x13
x23
15
xij ≥0(i 1, 2; j 1, 2,3)
（1-3）
• 其中，min是英文minimize（最小化）的 缩写。
• 例1.3 光明厂生产中需要某种混合料，它 应包含甲、乙、丙3种成分。