空间几何体立体几何经典高考大题汇编（含答案)16
未命名
一、解答题
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.已知3AB =， 2AD =，2PA =，
PD = 60PAB ∠=.
(Ⅰ) 证明: AD ⊥平面PAB ；
(Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成角的正切值. 2．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π
∠=，点,D E 在
线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且EF BC ∥.
（1）证明：AB ⊥平面PFE ；
（2）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长.
3．如图， 是正方形 的 边的中点，将 与 分别沿 、 折起，使得点 与点 重合，记为点 ，得到三棱锥 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
4．如图，底面 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ，
与平面 所成角为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
5．如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥, EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====.
（1）求证：BD ⊥平面ADE ；
（2）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；
（3）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.
6．如图，在多面体
中，四边形是正方形，是等边三角
形，．
（I ）求证：；
（II ）求多面体111ABC A B C -的体积.
7．如图，在四棱锥P ABCD -中， 等边PAD ∆所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直，O AD 为的中点，E DC 为的中点，且2AD =.
（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角P EB A --的余弦值.
8．如图， E 是边长为2的正方形ABCD 的AB 边的中点，将AED ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 折起，使得点A 与点B 重合，记为点P ，得到三棱锥P CDE -．
（Ⅰ）求证：平面PED ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）求点P 到平面CDE 的距离．
9．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，90DAB ∠=︒，PA ABCD 底面⊥，且12
PA AD DC ===
，1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）求证：PAD PCD ⊥平面平面；
（Ⅱ）求二面角A CM B --的余弦值。

10．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，AB PA ⊥，AB DC ，点E ，F ，G ，M ，N 分别是PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.
（Ⅰ）求证：AN ∥平面EFG ；
（Ⅱ）求证：平面MNE ⊥平面EFG .
11．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，AB PA ⊥，AB DC ，点E 、F 、
G 、M 、N 分别是PB ，AB BC PD PC ，
，，的中点． （1）若2AB CD =，求证：CE
平面PAD
（2）求证：MN ⊥平面EFG
12．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是11BD B C ，
的中点，
（1）求证：1MN B C ⊥；
（2）求三棱锥11B BCD -的体积.
13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为棱BC 的中点，
AB AC =，1BC =，求证：
（1）1AC ∥平面1ADB ；
（2）1BC ⊥平面1ADB .
14．如图5，四边形 是圆柱 的轴截面，点 在圆柱 的底面圆周上， 是 的
中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
15．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.
16．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA．求证：AA1，BB1，CC1交于一点.
17． 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．
18． 求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．
19． 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，问：
(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；
(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．
20． 完成下列各题：
(1)将下列文字语言转换为符号语言．
①点A 在平面α内，但不在平面β内；
②直线a 经过平面α外一点M ；
③直线l 在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l )．
(2)将下列符号语言转换为图形语言．
①a ⊂α，b ∩α＝A ，A ∉a ；
②α∩β＝c ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥c ，b ∩c ＝P .
21．如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，2PB BC ==，1AC =，AB =E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF FA =.
（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；
（2）求平面ABC 与平面BEF 所成二面角的平面角（锐角）的余弦值.
22．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，P 为棱1BB 上的一个动点.
（1）求三棱锥1C PAA -的体积；
（2）当1A P PC +取得最小值时，求证：1PD ⊥平面PAC .
23．如图，在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）点 为线段 （含端点）上一点，设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.
24．在如图所示的圆锥中，OP 是圆锥的高，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点，E 是线段AC 的中点，D 是线段PB 的中点，且2PO =，1OB =．
（1）试在PB 上确定一点F ，使得EF ∥面COD ，并说明理由；
（2）求点A 到面COD 的距离．
25．如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
26．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.
27．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.
28．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.
29．如图所示，如果MC ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且MA ⊥BD ，判断平行四边形ABCD 的形状.
30．如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PB AB ⊥.
（1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；
（2）若443
PB AB BC ===，平面PAB ⊥平面ABCD ，求三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积之差.
31．如图，在三棱锥P ABC -中，,44CBA AB π
∠===，,D E 分别为线段
,AB BC 的中点，,PD AC PE BC ⊥⊥.
（1）求证：CD ⊥平面PAB ；
（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -=P 平面ABC 的距离.
32．如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，
C 是底面圆周上异于A B ，的一点，12AA AB ==． 求证：
（1）11AAC BAC ⊥平面平面；
（2）求几何体1A ABC -的最大体积V ．
33．如图，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE SB ⊥于点E ，过E 作EF SC ⊥于点F ．
（Ⅰ）求证：AF SC ⊥．
（Ⅱ）若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG SD ⊥．
34．在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别是棱AB ，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，
求证：(1)11//EF E F ；
(2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.
35．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△P AB 和△PBC 的重心．求证：DE ∥AC ，13
DE AC =。