年级高一学科数学版本人教新课标A版课程标题必修2 第二章第1节空间点、直线、平面之间的位置关系编稿老师一校二校审核一、学习目标：1. 掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质、作用及公理1-3；2. 了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用．3. 了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系。
二、重点、难点：重点：平面的概念及表示；平面的基本性质，公理1-3中的图形语言及符号语言；异面直线的概念；公理4及等角定理；空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系．难点：平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系．三、考点分析：考纲对这部分知识的要求是：理解空间点、直线和平面的位置关系，掌握平面的基本特性，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。
在考试中对点、线、面位置关系的考查经常出现在选择题中，求异面直线所成的角经常出现在选择题和解答题中。
1. 平面的含义、画法及表示2. 点和面的位置关系点A在平面α内，记作：A∈α点B在平面α外，记作：B α3. 公理1—3（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号语言表示为：A lB l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭lαBA公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．符号语言表示为：A 、B 、C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α．公理2作用：确定一个平面的依据．推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言表示为：P ∈α∩β⇒α∩β=l 且P ∈l 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间中的两条直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点． 5. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫公理4作用：判断空间两条直线平行的依据． 6. 异面直线所成的角（1）已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）．（2）注意：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置关系来确定，与O 点的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0，2π]③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 7. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行 —— 没有公共点直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用α⊄a 来表示a α⊂ a∩α=A a ∥α8. 两个平面的位置关系（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线用类比的方法，可使学生快速地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形语言表示为βααβlα∥β α∩β=l知识点一：确定平面例1. 空间四点可以确定几个平面？三条直线两两相交可确定几个平面？空间四条平行直线可以确定几个平面？一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面？思路分析：利用公理2可以解决确定平面的问题 解答过程：1. 空间四点可以确定0个、1个、4个平面。
三点确定一个平面，讨论第四个点是否在平面上。
2. 三条直线两两相交可确定1个或3个平面。
3. 空间四条平行直线可以确定1个、4个、6个平面。
4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定1个、3个、4个平面。
解题后的思考：对于空间中点、线的位置关系要全面分析，不要遗漏。
知识点二：点、线共面例2. 如图，正方体ABCD ——1111D C B A 中E 、F 为1AA 、1CC 中点。
求证：1D 、E 、F 、B 四点共面。
思路分析：利用公理1和2可解决点共面的问题，从而解决确定平面的问题。
解答过程：连接E D 1交DA 延长线于M ∵ E 为A A 1中点∴ MA=AD同理，连接F D 1交DC 延长线于N ，CN=CD ∵ 正方体ABCD ——1111D C B A ∴ MA=AB=BC=CN∴ ︒=∠45MBA ，︒=∠90ABC ，︒=∠45CBN ∴ ︒=∠180MBN ∴ M 、B 、N 三点共线l ∴ l D ∉1，1D 、l 确定平面α∴D 1、E 、M 、B 、N 、F 六点共面α，从而D 1、E 、F 、B 四点共面 解题后的思考：将几个公理结合起来使用是解决问题的关键例3. 如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 、M 、N 为各棱中点，求证：EFGHMN 为正六边形。
A FB E D N H G M CA 1D 1C 1B 1∴ EF//NG ，确定平面α 同理，FG//EH ， 确定平面α'α与α'有三个不在同一条直线上的三点E 、F 、G∴ αα'、重合 ∴ E 、F 、G 、H 、N 五点共面 同理E 、F 、G 、H 、M 、N 六点共面 且EF//MH 、FG//NM 、EN//GH ∴ EFGHMN 是正六边形解题后的思考：证明共面问题有以下两个方法：（1）先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上（2）先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合例4. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明。
思路分析：确定两个平面的交线，就是找两个平面的两个公共点，本题中已经给出一个公共点，只需利用分别在两个平面内且相交的直线来确定另一个交点。
解答过程：如图，过点E 作EN ⊥CD 于点N ，连结NB 并延长，交EF 的延长线于点M ，连结AM ，因为直线EN//BF ，所以B 、N 、E 、F 四点共面。
因此EF 与BN 相交，交点为M ， 因为EF M ∈，且NB M ∈，而⊂EF 平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ， 所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点， 又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点， 所以AM 为这两平面的交线。
知识点三：异面直线所成的角例5. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，对角线C A 1长为a 3。
1BA 与1CC 所成的角。
②异面直线B A 1与C B 1所成的角。
③异面直线B A 1与1AC 所成的角。
④M 、N 为11C D 、11B C 中点，MN 与AC 所成角。
⑤H 为BC 中点，H C 1与B D 1所成角的余弦值。
思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解解答过程：① 11//CC BB ∴ 1BA 与1BB 所成锐角即为两条异面直线所成的角︒=∠4511BB A 。
②D A C B 11//，BD A 1∆为等边三角形 ∴B A 1与C B 1所成的角为︒60③延长DC 至E 使CE=CD ，E C C D B A 111////1AEC ∆中，a C A AC 311==，a E C 21=， ADE Rt ∆中，DE=a 2，AD=a∴ AE a 5=，由余弦定理︒=∠901E AC ④MN//BD BD AC ⊥ ∴所成角为︒90 ⑤F 为AD 中点，F D H C 11//，F BD 1∆中，a B D 31=，a F D 251=a BF 25=，B D F D BF B D F D B FD 112212112cos ⋅-+=∠ aa a a a 253245453222⨯⨯-+=515153== ∴ 所成角的余弦值为515解题后的思考：“平移找角”，“补形法”是求异面直线所成角的基本方法例6. 四面体ABCD ，棱长均为a （正四面体） ①求AC 、BD 所成的角。
②E 、F 为BC 、AD 中点，求AE 、CF 所成角的余弦值。
思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解 解答过程：①H 为CD 中点 EH//BD ，EH=2a，FH//AC2aFH=，EHF∠为两条异面直线AC 、BD 所成角或其补角 0cos =∠EHF ∴ ︒=∠90EHF ②K 为DE 中点，连结FK ，FK//AECF 与FK 所夹锐角为异面直线AE 、CF 所成角a CF 23=，a AE FK 4321== a EK CE CK 4722=+=324323216716343cos 2222=⋅⋅-+=∠a aa a CFK ∴ 所成角的余弦值为32解题后的思考：在封闭几何体中求异面直线所成角，经常利用中位线的平行关系进行平移找角。
一、预习新知请同学们预习 必修2 第二章 第2节 直线、平面平行的判定及其性质二、预习点拨通过预习，请回答下列问题：1. 直线与平面平行的判定定理，两个平面平行的判定定理的内容是什么？2. 直线与平面平行的性质定理，两个平面平行的性质定理的内容是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题：1. 已知βα,为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是（ ）A. βββ⊂⇒∈∈∈∈a B a B A a A ,,,B. MN N N M M =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C. A A A =⇒∈∈βαβα ,D. 重合、不共线、、，且、、、、βαβα⇒∈∈M B A M B A M B A ,2. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知棱长为a ，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 设P 是异面直线a 、b 外的一点，则过P 点且与a 、b 都平行的平面（ ）A. 有且只有一个B. 恰有两个C. 没有或只有一个D. 有无数个4. 若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（ ）A. 三个平面共线B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交D. 三个平面两两相交二、填空题：5. 用符号语言表示下列语句：（1）点A 在平面α内，但在平面β外 ；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a 。