离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。

如果R=Is ，则（A ）；如果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。

（2）设有序对<x+2,4>与有序对<5,2x+y>相等，则 x=(D),y=(E).供选择的答案A 、B 、C ：① x,y 可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。

D 、E ：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。

答案：A: ⑤B: ③C: ①D: ⑧E: ⑩4.2设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。

（2）domR=(B),ranR=(C).（3）R ︒R 中有（D ）个有序对。

（4）R ˉ1的关系图中有（E ）个环。

供选择的答案A :①{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}；②{<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>}；B 、C ：③{1，2，3，4}；④{1，2，4}；⑤{1，4}⑥{1，3，4}。

D 、E ⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。

答案：A:②B:③C:⑤D:⑩E:⑦4.3设R 是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即{＜x,y ＞︳x,y ∈Z+∧x+3y=12},则 （1）R 中有A 个有序对。

（2）dom=B 。

(3)R ↑{2,3,4,6}=D 。

(4){3}在R 下的像是D 。

（5）R 。

R 的集合表达式是E 。

供选择的答案A:①2;②3;③4.B 、C 、D 、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；∏3={Z +},则 （1）3个划分中分块最多的是A,最少的是B.(2)划分∏1对应的是Z +上的C, ∏2对应的是Z +上的D, ∏3对应的是Z +上的E供选择的答案A,B:①∏1;②∏2;③∏3.C,D,E:④整除关系；⑤全域关系；⑥包含关系；⑦小于等于关系；⑧恒等关系；⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。

答案A ①B ③C ⑧D ⑨E ⑤4.6 设S={1，2，…,10},≤是S 上的整除关系,则<S,≤>的哈斯图是(A),其中最大元是(B),最小元是(C),最小上界是(D),最大下界是(E).供选择的答案A: ① 一棵树; ② 一条链; ③ 以上都不对.B 、C 、D 、E: ④ ∅；⑤ 1；⑥ 10；⑦ 6，7，8，9，10；⑧ 6；⑨ 0；⑩ 不存在。

答案：A: ③(树中无环,所以答案不是①)B: ⑩C: ⑤D: ⑩E: ⑤4.7设f :N →N,N 为自然数集，且 ()1,2x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为奇数，，若为偶数， 则f （0）=A ，{}(){}()(){}()0,1,2,1,2,0,2,4,6,fB fC fD fE ===⋯=. 供选择的答案A 、B 、C 、D 、E ：①无意义；②1；③{1}；④0；⑤{0}；⑥12；∴⑦N ； ⑧{1，3，5，…}；⑨{12，1}；⑩ {2，4，6，…}. 解：f （0）=02=0，∴A=④； {}()0f ={0}，∴B=⑤；{}()1,2f ={1}，∴C=③；()1,2f ①无意义；{}()0,2,4,6,f ⋯=N ，∴E=⑦.4.8 设R 、Z 、N 分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f1、f2、f3、f4。

试确定它们的性质。

f1: R →R ，f(x)=2x,f2: Z →N ，f(x)=|x|.f3: N →N ，f(x)=(x)mod3,x 除以3的余数，f4: N →N ×N ，f(n)=<n,n+1>。

则f1是A ，f2是B ，f3是C ，f4是D ，f4（{5}）=E 。

供选择的答案A 、B 、C 、D ：①、满射不单射；②、单射不满射；③、双射；④、不单射也不满射；⑤、以上性质都不对。

E ：⑥、6；⑦、5；⑧、<5,6>;⑨、{<5,6>};⑩、以上答案都不对。

解：f1是②、单射不满射；f2是①、满射不单射；f3是④、不单射也不满射；f4是②、单射不满射；f4（{5}）=⑨、{<5,6>}。

4.9 设f :R →R ，f(x)= x ² ， x ≥3,-2 , x<3; g:R →R ，g(x)=x+2,则 f 〇g(x)=A,g 〇f(x)=B, g 〇f: R →R 是 C,f-1是 D,g-1是E.供选答案::A\B:① (x+2)² , x ≥3, ② x ²+2 ， x ≥3, -2 , x<3; -2 , x<3;(x+2)² , x ≥1, x ²+2 ， x ≥3,③ ④-2 , x<1; 0 , x<3;C: ⑤ 单射不满射；⑥ 满射不单射；⑦ 不单射也不满射；⑧ 双射。

D 、E ：⑨ 不是反函数; ⑩ 是反函数。

解：A=③ B=④ C=⑦ D=⑨ E=⑩4.10 （1）设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数是（A ），属于 §（S 上S ）的函数是（B ）。

（2）在S 上定义等价关系R=Is ∪{< a,b >,< b, a>},那么该等价关系对应的划分中有(C)个划分.作自然映射g :S →S/R,那么g 的表达式是(D).g (b)=(E).供选择的答案A 、B 、D ：① {<a,a>,<b,b>,<c,c>};② {<a,b>} ; ③{<a,1>,<b,1>,<c,0>};④ {<a,{a}>,<b,{b}>,<c,{c}>};⑤ {<a,{a,b}>,<b,{a,b}>,<c,{c}>}.C:⑥ 1;⑦ 2;⑧ 3.E:⑨ {a,b};⑩ {b}.答案：A:③B: ①C: ⑦D: ⑤E: ⑨4.11 设S={1，2，……，6}，下面各式定义的R都是在S上的关系，分别列出R的元素。

R = { <x , y>|x, y ∈s ∧ x | y}.解：由题意可知R是整除关系，所以答案如下：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6> ,<4,4>,<5,5>,<6,6>}.( 2 ) R = {< x , y > | x , y ∈ S ∧ x是y的倍数}.解: 由题意可知：R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1> ,<6,2>,<6,3>,<6,6>} .( 3 ) R = {< x, y> | x , y ∈S ∧ ( x - y )²= ∈ S }.解: 由题意可知：R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3> ,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}.( 4 ) R = {< x , y > | x , y ∈S ∧ x / y是素数 }解：由题意可知：R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.4.13 S={a，b，c，d}，R1、R2为S上的关系，R1={<a，a>，<a，b>，<b，d>}R2={<a，d>，<b，c>，<b，d>，<c，b>}求R1。

R2、R2。

R1、R12和R23.解:设R1的关系矩阵为M1，R2的关系矩阵为M2，则{}12212112000111000000001100010000,010000000001000000000000110000010011000100110000000001000000000000000000R R M M c d R R M M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦o g g o g g {}{}2132,,,110011001101000100010000,,,,,000000000000000000000000000100010001001100110011010001000100000000000000a c a d R a a a b a d R =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦g g g {}00000011,,,,,01000000b c b d c b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦此题答案正确，只是写法不对，应改为：其余类似},{...2112><=•∴=•d c R R M M Θ4．14R 的关系图如图4-14所示，试给出r （R ）、s （R ）、t （R ）的关系图。