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高等数学单元测试6——定积分及应用
第一卷 基础练习
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、 函数在上可积的必要条件是在上
A 有界
B 无界
C 单调
D 连续
2、 设()x f 在[]b a ,上可积，下列各式中不正确的是
A
()()dt t f dx x f b a b
a ⎰⎰
= B
()()dx x f dx x f a
a
b
a ⎰⎰
=
C
()()dx x f dx x f a
a
b b
⎰⎰= D ()()dt t f dx x f a
b
b a
⎰⎰-=
3、下列积分中可以用牛顿—莱布尼兹公式计算的是
A dx x x ⎰+5
023
1
B
dx x
x ⎰
--1
1
2
1 C
dx x x ⎰
-4
2
2
3)
5( D dx x x e
e
⎰1ln 1
4、设
()x
x
a
dt t f 20
=⎰，则()x f 等于A x
a
22 B a a
x
ln 2 C 122-x xa D a a x ln 22
5、积分上限函数
()dt t f x
a
⎰是
A 常数
B 函数()x f
C ()x f 的一个原函数
D ()x f 的全体原函数 6、设()x f 为连续函数，则积分dt t t f t n
n
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
⎰11112等于 A 0 B 1 C n D n
1
7、=⎰
1
arccos x dx
A ⎰0
2
πx
dx
B ⎰2
sin π
dx x x
C dx x x
⎰0
2
sin π
D ⎰2
cos π
dx x x
8、设()x f '在[]2,1上可积，且()11=f ，()12=f ，
()12
1
-=⎰dx x f ，则()='⎰dx x f x 2
1
A 2
B 1
C 0
D -1
9、设函数()x f '在[]b a ,上连续，则曲线()x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于
A
()dx x f b a
⎰ B ()⎰b a
dx x f C ()dx x f b
a
⎰ D {}()()b a a b f <<-'ξξ
10、广义积分
⎰∞
-0
dx e kx 收敛，则k
A 0>k
B 0≥k
C 0<k
D 0≤k
二、填空题（每小题4分，共28分）
1、
()
dx x ⎰-+0
2
199
12= 。

2、2
3
2=
⎰k
x dx e ，则=k 。

3、()⎰
-=x
t dt te
x f 0
2
在区间 单调减少。

4、已知
()
3
1
2
x dt t f x
=⎰，则()=⎰dx x f 1
2 。

5、dx x x ⎰+-2
244= 。

6、定积分=⎰-11
2sin xdx x 。

7、
=⎰
1
3
x
dx。

三、解答题
1、 （16分）计算下列定积分
①dx x ⎰
-2
1 ②
dx e x ⎰
-2
ln 0
1
③
dx x x ⎰
-2
1
21
④⎰π
20
2cos xdx x
2、 （8分）判别下列各广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。

①⎰∞
+∞-++222x x dx ②dx x x
⎰-2
1
1
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3、（6分）求函数()()dt t t x f x
⎰
-=0
23在[]4,1-上的最大值和最小值。

4、（6分）曲线x
e y =与x 轴，y 轴以及直线4=x 围成平面区域，试在区间()4,0内找到
一点0x ，使直线0x x =平分以上区域。

5、（6分）求由曲线2
2x y -=，)0(≥=x x y 与直线0=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体体积。

第二卷 提高练习
1、（6分）设()()dt t f a x x x F x
a
⎰-=
2
，其中()x f 为连续函数，则()x F a x →lim =（ ） A 2
a B ()a f a 2
C 0
D 不存在
2、（7分）计算定积分⎰
e
xdx 1
ln sin 。

3、（10分）已知()⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=⎰0
0cos 20
x x x tdt
t x f x
，讨论()x f 的连续性，并写出连续区间；考察
在处是否可导？若可导，求()0f '。

4、（10分）设⎰∞
-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a
t
x
x dt te a x a x 2lim ，求a 的值。

5、（10分）求曲线)40(≤≤=x x y 的一条切线，使此切线与直线4,0==x x 及x 轴所
围成的梯形面积最小。

6、（7分）设连续函数()()dx x f x x f e
⎰
-
=1
ln ，证明()e dx x f e
1
1
=⎰。