第一章 勾股定理单元测试 （A 卷基础篇）（北师大版）学校: __________ 姓名： __________ 班级： __________ 考号： __________题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人 得 分．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3分）1．（ 2019 春?资阳区校级期中）以下四组数中，不是勾股数的是（）C ．20，21，29ABC 的两条直角边的长分别为 1、 2，则它的斜边长为（3．（ 2019 春?博白县期中）三角形的三边 a ， b ， c 满足 a 2+b 2﹣ c 2＝0，则此三角形是（A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4．（ 2019 春?南岗区校级期中）如图，两个正方形的面积分别是5．（ 2019 春 ?太原期中）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、 4 个结间距、 5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这 样做的道理是（ ）A ．3n ，4n ，5n （n 为正整数）B ．5，12，13 A ． B ．C ．2D ．3A ． 8B ． 10C ． 64D ．1362．（ 2019 春?江岸区校级期中）直角三角形D ．8，5，7100 和 36，则字母 B 所代表的正方形的面A ．直角三角形两个锐角互余B ．三角形内角和等于 180 °C ．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D ．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形6．（ 2019 春?江岸区校级期中）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A ．2、 3、4B ．3、 4、5C ．1、 、D ． 、 、7．（ 2019春?海阳市期中）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点 D 在 AB 上， AD ＝ AC ，AF ⊥ CD 交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F ，则 CF 的长是（9．（ 2019 春?江城区期中）已知等腰三角形的一条腰长是 15，底边长是 18，则它底边上的高为（ ）10．（ 2019 春 ?资阳区校级期中）在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向 东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶 2.5米、 6米，则 10秒后两车相距（ ）米．B ．1.8C ．2D ．2.58． 2019 春?汉阳区校级期中）如图，一棵大树在离地面6 米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底部 C 的8C ． 24 米D ．21米A ．9B ．12C ．15D ．18A ．1.5 A ．16米B ．15米A．55 B．65 C．75D．85第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共8 小题，满分24分，每小题3分）11．（2019 春?海沧区校级期中）Rt △ABC 中，∠ B＝90°，AB＝9，BC＝12，则斜边上的高为．12．（2019 春?越秀区校级期中）如图，已知∠ ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．13．（2019 春?鼓楼区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB，垂足为点E，DE ＝2，则BC＝．14．（2019春?阜阳期中）如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是15．（2019 春?花都区期中）如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条长13m 的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有m．16．（2018 秋?景德镇期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地 2.5 米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 1.6 米的学生正对门，缓慢走到离门 1.2 米的地方时，处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是三．解答题（共 5 小题，满分 46分）19．（9分）（2019春?路北区期中）在 △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别为∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边．（1）如果 a ＝ 5， b ＝ 12，那么 c ＝ ． （ 2）如果 c ＝ 61， a ＝ 60，那么 b ＝ ．（ 3）若∠ A ＝45°， a ＝ 2，则 c ＝．20．（9 分）（2019 春?高安市期中）已知：如图，四边形 ABCD 中， AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3， ＝ ，求四边形 ABCD 的面积．米．8cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子，筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 cm ．18．（ 2019 春 ?武城县期中）如图所示，圆柱的高 A B ＝ 15cm ，底面周长为 40cm ，现在有一只蚂蚁想要从AD则感应器的最大感应距离是17．（2019 春 ?沂水县期中）如图，一个直径为分21．（9分）（2019春?江城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD22．（9分）（2019春?全椒县期中）如图，有两棵树AB 和CD ，AB＝10米，CD ＝4米，两树之间的距离BD＝8米，一只鸟从 A 处飞到C处，则小鸟至少飞行多少米？23．（10 分）（2019 春?江城区期中）“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？第二章勾股定理单元测试（A 卷基础篇）（北师大版）参考答案与试题解析一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3分）1．（2019 春?资阳区校级期中）以下四组数中，不是勾股数的是（）A．3n，4n，5n（n 为正整数）B．5，12，13C．20，21，29 D ．8，5，7【答案】解：A、3n2+4n2＝5n2，是勾股数；B、52+122＝132，是勾股数；C、202+212＝292，是勾股数；D 、72+52≠82，不是勾股数；故选： D ．【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数称为勾股数，并能够熟练运用．2．（2019春?江岸区校级期中）直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为1、2，则它的斜边长为（）A．B．C．2 D ．3【答案】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝，故选： B ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．3．（2019春?博白县期中）三角形的三边a，b，c 满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】解：∵ a2+b2﹣c2＝0，∴a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形．故选： B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．（2019 春?南岗区校级期中）如图，两个正方形的面积分别是100 和36，则字母 B 所代表的正方形的面A．8 B．10 C．64 D ．136【答案】解：由勾股定理得，AC2+CD2＝AD2，则字母 B 所代表的正方形的面积＝CD2＝AC2﹣AD2＝100﹣36＝64，故选： C ．【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．（2019 春?太原期中）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以 3 个结间距、 4 个结间距、 5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（）A ．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180 °C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【答案】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2，∴以3m、4m、5m 为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选： D ．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．6．（2019 春?江岸区校级期中）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．1、、D．、、【答案】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、12+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误．故选： B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．（2019春?海阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥ CD 交CD 于点E，交CB 于点F，则CF 的长是（C．2 D．2.5答案】解：连接DF ，如图所示：AC＝3，BC＝4，∴ AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥ CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF 和△ACF 中，，∴△ ADF ≌△ ACF（SSS），∴∠ ADF ＝∠ ACF＝90°，∴∠ BDF ＝90°，设CF＝DF ＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF 中，由勾股定理得：DF 2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝ 1.5；∴CF ＝ 1.5； 故选： A ．【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质； 熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．8．（2019春?汉阳区校级期中）如图，一棵大树在离地面 6米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底部 C 的 8米处，则大树数断裂之前的高度为（ ）A ．16米B ．15米C ．24 米D ．21 米【答案】解：由题意得 BC ＝ 6，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得： AB ＝ ＝ 10 米．所以大树的高度是 10+6＝16 米． 故选： A ．点睛】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接 用算术法求解．9．（ 2019 春?江城区期中）已知等腰三角形的一条腰长是 15，底边长是 18，则它底边上的高为（答案】解：过点 A 作 AD ⊥ BC ， ∵AB ＝ AC ，∴AD ＝＝12（ cm ），∴它底边上的高为 12cm ；点睛】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，构 造直角三角形．10．（ 2019 春 ?资阳区校级期中）在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向A ．9B ．12C ．15D ．18∴BD ＝CD ＝＝18＝9，2.5 米、 6 米，则10 秒后两车相距（）米．C．75 D．85Rt△ACB中，AC＝2.5 ×10＝25 米，BC＝6×10＝60 米，则AB＝＝＝65（米），则10 秒后两车相距65 米．点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键．二．填空题（共8 小题，满分24分，每小题3分）11．（2019 春?海沧区校级期中）Rt △ABC 中，∠ B＝90°，AB＝9，BC＝12，则斜边上的高为【答案】解：设AC 边上的高为h，∵在Rt△ABC 中，∠ B＝90°，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴AB?BC＝AC?h，故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．12．（2019 春?越秀区校级期中）如图，已知∠ ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为96m2．答案】解：在Rt△ADC 中，∵ CD ＝6m，AD ＝8m，∠ ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶A ．55 B．65【答案】解：如图所示：由题意可得，12∴AC ＝ 10m ，（取正值）．在△ABC 中，∵ AC 2+BC 2＝102+242＝ 676，AB 2＝262＝676． ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ ACB 为直角三角形，∠ ACB ＝90°．∴S 阴影＝ AC ×BC ﹣ AD ×CD ＝ ×10×24﹣ ×8×6＝96（m 2）．故答案是： 96m 2 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出 △ACB 为直角三角形．13．（2019 春?鼓楼区校级期中）如图，在 △ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝ 30°， AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为点 E ， DE ＝2，则 BC ＝ 6 ．答案】解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，∠ C ＝ 90°，DE ⊥ AB ， ∴DC ＝DE ＝2，在 Rt △BDE 中，∠ B ＝ 30°， ∴BD ＝2DE ＝4， ∴BC ＝ CD+BD ＝ 6， 故答案为： 6．【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解 题的关键．14．（ 2019 春?阜阳期中）如图，在一个高为 5m ，长为 13m 的楼梯表面铺地毯， 则地毯的长度至少是 17m【答案】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度＝＝ 12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是 12+5＝17 米．AC故答案为： 17m ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．15．（2019 春?花都区期中）如图，从电线杆离地面 5m 处向地面拉一条长 13m 的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有 12 m ．【答案】解：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形， AC ＝ 5m ，BC ＝13m ， ∴AB ＝＝＝ 12m ．点睛】本题考查的是勾股定理的应用，有利于培养学生理论联系实际的能力．16．（ 2018 秋 ?景德镇期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地 2.5 米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 1.6 米的学生正对门，缓慢走到离门 1.2 米的地方时，1.5 米．答案】解：如图，过点 B 作 BC ⊥ AD 于点 C ，依题意知， BE ＝CD ＝1.6米，ED ＝BC ＝1.2 米， AD ＝2.5 米，则 AC ＝AD ﹣CD ＝AD ﹣ BE ＝ 2.5﹣ 1.6＝ 0.9 米）．在 Rt △ABC 中，由勾股定理得到： AB ＝ ＝＝1.5（米）故答案是： 1.5．则感应器的最大感应距离是【点睛】考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AB 的长度．8cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子答案】解：设杯子的高度是 xcm ，那么筷子的高度是（ x+1） cm ，由题意： x 2+4 2＝（ x+1）216＝ 2x+1， x ＝ 7.5，∴ x+1 ＝ 8.5∴筷长 8.5cm ，杯高 7.5cm ． 故答案为 8.5．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．18．（2019 春?武城县期中）如图所示，圆柱的高 AB ＝ 15cm ，底面周长为 40cm ，现在有一只蚂蚁想要从 A故答案为： 25cm ．，筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 8.5 cm ．C 处捕食，则它爬行的最短距离是 25cm答案】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A 、C 的最短距离为线段 AC 的长．在 Rt △ADC 中，∠ ADC ＝90°，CD ＝AB ＝15，AD 为底面半圆弧长， AD 40＝20，所以 AC ＝ ＝＝ 25，17．（2019 春 ?沂水县期中）如图，一个直径为【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．三．解答题（共 5 小题，满分46分）19．（9分）（2019春?路北区期中）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠ A、∠ B、∠ C的对边．（1）如果a＝5，b＝12，那么c＝13 ．（2）如果c＝61，a＝60，那么b＝11 ．（3）若∠ A＝45°，a＝2，则c＝ 2 ．【答案】解：（1）∵在△ABC 中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴ c＝＝＝13．故答案为13；（2）∵在△ABC 中，∠ C＝90°，c＝61，a＝60，∴ b＝＝＝11．故答案为11；（3）∵在△ABC 中，∠ C＝90°，∠ A＝45°，∴∠ B＝90°﹣∠ A＝45°，∴∠B＝∠ A，∴b＝a＝2，∴ c＝＝＝ 2 ．故答案为 2 ．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．20．（9 分）（2019 春?高安市期中）已知：如图，四边形ABCD 中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD【答案】解：连接AC．∵∠ ABC ＝90°，AB＝1，BC ＝2，∴ AC＝＝＝．在△ACD 中，AC2+CD 2＝5+9＝14＝AD2，∴△ ACD 是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB?BC+ AC?CD ，＝×1×2+ × ×3＝1+ ．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状是解答此题的关键．21．（9分）（2019春?江城区期中）如图，在锐角三角形A BC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD【答案】解：∵ AD⊥ BC，∴∠ ADC ＝90°，在Rt△ACD 中，CD＝＝＝5，∵BC＝14，∴BD＝BC﹣CD＝9．【点睛】本题考查了勾股定理的运用．关键是利用垂直的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解．22．（9分）（2019春?全椒县期中）如图，有两棵树AB 和CD ，AB＝10米，CD ＝4米，两树之间的距离BD ＝8米，一只鸟从 A 处飞到C处，则小鸟至少飞行多少米？【答案】解：连接AC，作CE⊥AB 于E，则AE＝10﹣4＝6（米），CE＝BD＝8 米．所以AC＝＝＝10（米）即：小鸟至少飞行10 米．【点睛】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．23．（10 分）（2019 春?江城区期中）“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）．∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠ QPR＝90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠ QPS＝45°，则∠ SPR＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．。