式中，C1为左段截面形心。 若取m-m截面右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左段 截面上等值、反向的剪力Ｆs′和弯矩M′，与左段截面上的剪力Fs和 弯矩M互为作用与反作用的关系。
为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符 号相同，把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生“左上 右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负，如图6.6所示； 使 所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负，如图6.7所示。
Fs=Fs(x)
M=M(x)
以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程。
为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化
规律，可根据剪力方程和弯矩方程 , 用横坐标x表示梁的横截面 的位置, 纵坐标分别表示剪力Fs和弯矩M的大小而画出的图形， 分别称为剪力图和弯矩图。
第6章 弯 曲 【例6.1】如图6.8 (a)所示，简支梁AB受集中截荷 F=12kN， 试画出其剪力图和弯矩图。
M 1 4 x1
第6章 弯 曲 ② 对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图 6.8(c)所示。列平衡方程：
Fs 2 F N A 0
m
Fs 2 N A F 4 12 8kN
C2
M 2 F ( x2 2) N A x2 0 (2 x2 3)
(d)
0
M
8 k N· m
图 6.8
B x
(e)
A 0
C
第6章 弯 曲
(2) 列剪力方程与弯矩方程。
① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图 6.8(b)所示。列平衡方程：
Fs1 N A 0
m
Fs1 N A 4kN
C1
M1 N A x 0 (0 x1 2)
解 (1) 求A、B的支座反力。
m
B
N A 3 F 1 0
1 N A F 4kN 3 N B F N A 8kN
第6章 弯 曲
(a)
A x1
2m
F C
1m
B NB
NA
x2 C1
M1 Fs1 F C2
(b)
NA
x1
(c)
M2
NA Fs A
x2
Fs2
4 kN C B x －8 k N
弯矩都达到最大值。
第6章 弯 曲 【例6.2】 如图6.9（a） 所示，简支梁 AB 上作用 一集中力偶M，试绘出梁 AB的剪力图和弯矩图。
A NA x1
M 1 C 1 (a) a x2 l 2 NB 2 B
Fs (b) 0 M/ l M B x
第6章 弯 曲
第6章 弯 曲
6.1 弯曲的概念与实例 6.2 梁的内力与内力图 6.3 弯曲时的正应力与强度计算 *6.4 梁的变形 6.5 提高梁的承截能力的措施
*6.6 组合变形简介
思考与练习
第6章 弯 曲
6.1 弯曲的概念与实例
6.1.1 基本概念
q
F (a) (b)
图 6.1
第6章 弯 曲 以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内，受到 力偶或垂直于轴线的外力作用。其变形特点是：构件的轴线由
M 2 24 8 x2
第6章 弯 曲 (3) 绘制剪力图和弯矩图。 根据梁的各段上的剪力方程和弯矩方程，绘出剪力图， 如图6.8(d)所示, 绘出弯矩图， 如图6.8(e)所示。 从剪力图上可以看出，在集中力 F 作用处，剪力图上会发 生突变，突变值即等于集中力F的大小。 由剪力图和弯矩图可知, 集中力F作用在C截面上，剪力和
转动的趋势。为了达到转动平衡，截面上必须作用有一个力偶
M。图6.5中使梁的横截面发生错动的内力 Fs称为剪力；使梁的 轴线发生弯曲的内力偶矩 M 称为弯矩。其大小可以由平衡条件 求出， 即:
第6章 弯 曲
F N m
C1
A
Fs 0
M NA x
la Fs N A F l la M F x l
直线变成一条曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主
的构件习惯上称为梁。 工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、T字 形和工字形等，如图6.2所示。
第6章 弯 曲
y z
y z
y z
y z
图 6.2
第6章 弯 曲
以上横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与
梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，如图6.3所示。
如图6.4(b)所示。
(3) 外伸梁： 梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁， 如 图6.4(c)所示。
第6章 弯 曲
A B
(a)
A (b)
B
A
B
(c)
图 6.4
第6章 弯 曲
6.2 梁的内力与内力图
6.2.1 剪力与弯矩
A (a) NA x a l A NA
M
m m
F B
NB
(b)
C1 m m
纵向对B
图 6.3
第6章 弯 曲 工程实践中，通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的 纵向对称平面内，且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称 平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲。
第6章 弯 曲
6.1.2 梁的类型
工程实际中，梁的结构繁简不一。为便于分析计算，通常 对梁进行简化。根据支座对梁的约束的不同情况，简单的梁有 三种类型，其简图如图6.4所示。 (1) 简支梁： 梁的一端为固定铰链支座， 另一端为活动铰 链支座， 如图6.4(a)所示。 (2) 悬臂梁： 梁的一端为固定端支座， 另一端为自由端，
Fs
M Fs F B NB
m m
(c)
图 6.5
第6章 弯 曲 首先，利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为
l a NA F, l
a NB F l
其次，假想地用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段进行分
析，如图6.5(b)所示。为了达到平衡，在m-m截面上必须作用一 个与 NA等值、反向的力 Fs 。NA与 Fs 构成力偶，又有让梁顺时针
第6章 弯 曲
(＋ ) Fs Fs Fs
(－ ) Fs
图 6.6
第6章 弯 曲
M
(＋ )
M
(－ )
M
M
图 6.7
第6章 弯 曲 6.2.2 剪力图和弯矩图 工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。 若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs
和弯矩M可以写成x的函数：