vΔudV
S
u
v n
dS
若令u=1，可得
ΔvdV
S
v n
dS
二维公式
平面格林公式
D
Q x
P y
d
C
Pdx
Qdy
或写成对弧长积分的形式
（5）
D
Q x
P y
d
Qn1
C
Pn2 ds
其中 n =(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。
（6）
关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系
dy n1ds, dx n2ds
得
x
u
v x
y
u
v y
z
u
v z
dV
S
u
v x
cosn,
x
u
v y
cosn,
y
u
v z
cosn,
z
dS
整理得
uvdV
u
x
v x
u y
v y
u z
v z
dV SBiblioteka uv ndS
于是得到第一格林公式
uΔvdV
u
S
v n
dS
-
gradu gradvdV
（2）
三维公式
利用格林公式，有
ΔUdV
S
U dS n
1
取边界S 为球面，其半径为 r，则有
所以
S
U n
dS
S
U r
dS
S
B r2
dS
4B
B 1 4π
最后得三维拉普拉斯方程的基本解
U 1 4πr
求二维拉普拉斯方程的基本解
解 由定义1 可知，即求U使其满足方程
ΔU x x0, y y0
（2）
以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与θ无关，方程化 为
C
C
u
v x
v
u x
n1
u
v y
v
u y
n2
ds
C
u
v x
n1
v y
n2
-
v
u x
n1
u y
n2
ds
C
u
v n
v
u n
ds
如是证得公式（8）。
几种常用的积分形式
在公式（8）中
uΔvd
D
vΔud
D
C
u
v n
v
u ds n
若令 △v=δ(x,y)，并在边界上取 v=0，可得
u
D
vΔud
（3）
以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与θ无关，方程化 为
其中
ΔU
1 r
d dr
r
dU dr
k 2U
0,
r0
r x x0 2 y y0 2
求解零阶贝塞尔方程得
U r AJ0 kr BY0 kr
考虑到在 r = 0 处，J0(kr)有界，取 A = 0，而 Y0(kr) 具有 (2/π)lnr 的奇异性。为进一步确定B值，对式（3）两边进行 面积分得
的解本解，其中M为区域Ω内任意一点，M0为Ω中的任意一个 固定点。
求三维拉普拉斯方程的基本解
解 由定义 1 可知，即求U使其满足方程
ΔU x x0, y y0, z z0
（1）
以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关，方 程化为
其中
ΔU
1 r2
d dr
r 2
dU dr
由公式（6）可推导出，平面第二格林公式
uΔv - vΔud
D
C
u
v n
v
u n
ds
其中n为边界曲线C的外法线向量。
（7） （8）
推导细节
设
Q u v v u , P u v v u
x x
y y
公式（6）左边等于
D
Q x
P y
d
uΔv - vΔud
D
公式（6）右边等于
推导细节
Qn1 Pn2 ds
C
u
v n
ds
若令 u=1，可得
Δvd
D
C
v n
ds
讨论二维第二格林公式
令
u2
u
v x
v
u x
,
u1
v
u y
u
v y
由三维Stokes环流定理可得二维第二格林公式
D
uΔv
-
vΔud
C
u
v n
v
u n
ds
6.2 基本解
定义 1 设L为线性微分算子，称方程 LU=δ(M-M0)
的解U(M,M0)为方程 LU=0 或LU=f(M)
0,
r0
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
求解常微分方程可得
r2
dU dr
-B,
dU
B r2
dr
U A B r
考虑到基本解在 r=0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一 步确定B值，对式（1）两边进行体积分得
ΔUdV x - x0, y - y0, z - z0 dV 1
Y0
kr
Y0
k
r
~
2
ln
r
练习
利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的 基本解
Δ2U x x0, y y0, z z0
解
以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关。若 U满足
ΔU
1 r2
d dr
r 2
dU dr
1 4πr
,
r0
（a）
则必满足
Δ2U 0, r 0 设未知函数表达式为
同理，有
vΔudV
v
S
u n
dS
-
gradu
gradvdV
将上二式两边相减得第二格林公式
uΔv
-
vΔudV
S
u
v n
v
u n
dS
（3） （4）
几种常用的积分形式
在公式（4）中
uΔvdV
vΔudV
S
u
v n
v
u n
dS
若令 △v=δ(x,y,z)，并在边界上取 v=0，可得
u
D
D
利用格林公式，有
ΔUd
D
C
U n
ds
1
取边界C为圆周， 其半径为 r ，则有
所以
C
U n
ds
C
U r
ds
C
Bds r
2B
B 1 2π
于是得二维拉普拉斯方程的基本解
U 1 lnr 2π
求二维亥姆霍斯方程的基本解
解 由定义1 可知，即求U使其满足方程
ΔU k 2U x x0, y y0
ΔU k2U d x - x0, y - y0 d 1
D
D
利用格林公式，有
ΔUd
D
C
U ds n
取边界C为圆周，其半径为 r，则有
1 lim r0 C
U ds n
D
k 2Ud
B
lim
r 0
2r
2
r
2
r k 2 2 ln
0
d
4B
于是得二维亥姆霍斯方程的基本解
U
r
1 4
U Ar
其中A为待定系数。将表达式代入方程（ a ），可得
A 1
8
于是，最后得到双调和方程的基本解
U r
8
6.3 格林函数
二维格林函数的定义
定义2 满足
ΔG2G0， x x0, y y0 ,
在D内， 在B上
的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中B 为平面区域D的边界。
第六章 格林函数法
本章主要研究基本解和格林函数及其 在边值问题和初值问题中的应用，并
介绍混合问题的相关解法。
6.1 格林公式
高斯公式
P x
Q y
R z
dV
Pcosn,x Qcosn, y Rcosn,zdS
S
其中n为S的外法线方向。
取
P u v , Q u v , R u v
x
y
z
（1）
其中
ΔU
1 r
d dr
r
dU dr
0,
r0
r x x0 2 y y0 2
求解常微分方程得
r
dU dr
B,
dU
B dr r
U A Blnr
考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步 确定B值，对式（2）两边进行面积分得
ΔUd x x0, y y0 d 1