高中数学:直接证明与间接证明练习1．(天津一中月考)用反证法证明命题:“a ,b ∈N ,若ab 可被5整除,那么a ,b 中至少有一个能被5整除．”时,假设的内容应该是( B )A ．a ,b 都能被5整除B ．a ,b 都不能被5整除C ．a ,b 不都能被5整除D ．a 能被5整除解析:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立从而进行推证．命题“a ,b ∈N ,如果ab 可被5整除,那么a ,b 中至少有一个能被5整除．”的否定是“a ,b ∈N ,如果ab 可被5整除,那么a ,b 都不能被5整除”,故选B.2．(河北邢台模拟)用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多有一个钝角”,假设正确的是( C )A ．假设三角形的三个内角都是锐角B ．假设三角形的三个内角都是钝角C ．假设三角形的三个内角中至少有两个钝角D ．假设三角形的三个内角中至少有两个锐角解析:“至多有一个”的否定是“至少有两个”．故选C.3．若a ,b ,c 是不全相等的正数,给出下列判断:①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ,b ≠c ,a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析:由于a ,b ,c 不全相等,则a －b ,b －c ,c －a 中至少有一个不为0,故①正确；②显然正确；令a ＝2,b ＝3,c ＝5,满足a ≠c ,b ≠c ,a ≠b ,故③错误．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,a ,b 为正实数,A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2,B ＝f (ab ),C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ,则A ,B ,C 的大小关系为( A )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析:因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b, 又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数, 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b , 即A ≤B ≤C .5．设x ,y ,z ∈R ＋,a ＝x ＋1y ,b ＝y ＋1z ,c ＝z ＋1x ,则a ,b ,c 三个数( C )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析:假设a ,b ,c 都小于2,则a ＋b ＋c ＜6,而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6,与a ＋b ＋c ＜6矛盾,∴a ,b ,c 都小于2不成立．∴a ,b ,c 三个数至少有一个不小于2,故选C.6．在等比数列{a n }中,a 1＜a 2＜a 3是数列{a n }递增的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:当a 1＜a 2＜a 3时,设公比为q ,由a 1＜a 1q ＜a 1q 2得若a 1＞0,则1＜q ＜q 2,即q ＞1,此时,显然数列{a n }是递增数列,若a 1＜0,则1＞q ＞q 2,即0＜q ＜1,此时,数列{a n }也是递增数列,反之,当数列{a n }是递增数列时,显然a 1＜a 2＜a 3.故a 1＜a 2＜a 3是等比数列{a n }递增的充要条件．7．设a ＝3＋22,b ＝2＋7,则a ,b 的大小关系为 a ＜b .解析:a ＝3＋22,b ＝2＋7,两式的两边分别平方,可得a 2＝11＋46,b 2＝11＋47,显然67,所以a ＜b .8．已知点A n (n ,a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点,B n (n ,b n )为函数y ＝x 图象上的点,其中n ∈N *,设c n ＝a n －b n ,则c n 与c n ＋1的大小关系为 c n ＞c n ＋1 .解析:由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n , ∴c n 随n 的增大而减小,∴c n ＋1＜c n .9．(长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1,在区间[－1,1]内至少存在一点c ,使f (c )＞0,则实数p 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 . 解析:若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立,则⎩⎨⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32,故满足题干要求的p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则△A 2B 2C 2是 钝角 三角形．解析:由条件知,△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形,假设△A 2B 2C 2是锐角三角形． 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么,A 2＋B 2＋C 2＝π2,这与三角形内角和为π相矛盾．所以假设不成立．假设△A 2B 2C 2是直角三角形,不妨设A 2＝π2,则cos A 1＝sin A 2＝1,A 1＝0,矛盾．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．11．已知a ≥b ＞0,求证:2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明:要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立,只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0,即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0,即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b ＞0,∴a －b ≥0,a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0,从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立,∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .12．若a ,b ,c 是不全相等的正数,求证:lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明:要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c ,只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc , 只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc .因为a ,b ,c 是不全相等的正数,所以a ＋b 2≥ab ,b ＋c 2≥bc ,c ＋a 2≥ca (三个式子中等号不同时成立)．所以显然有a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立,原不等式得证．13．已知函数f (x )＝3x －2x ,试证:对于任意的x 1,x 2∈R ,均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明:要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22, 即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22, 因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2),即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22, 因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2, 由于当x 1,x 2∈R 时,3x 1＞0,3x 2＞0,由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立,当且仅当x 1＝x 2时,等号成立,故原结论成立． 14．已知四棱锥S ABCD 中,底面是边长为1的正方形,又SB ＝SD ＝2,SA ＝1.(1)求证:SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ,C 的点F ,使得BF ∥平面SAD ？若存在,确定F 点的位置；若不存在,请说明理由．解:(1)证明:如图,由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2,∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ,AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ,C 的点F ,使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ,BC ⊄平面SAD .∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ,∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾,∴假设不成立．∴不存在这样的点F ,使得BF ∥平面SAD .15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1＋2,S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *),求证:数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解:(1)由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2, 故a n ＝2n －1＋2,S n ＝n (n ＋2)．(2)证明:由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ,b q ,b r (p ,q ,r ∈N *,且互不相等)成等比数列,则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ,q ,r ∈N *,∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝q 2＝pr ,(p －r )2＝0. ∴p ＝r ,与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．16．(衡阳调研)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W :x 24＋y 2＝1相交于A ,C 两点,O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明:四边形OABC 不可能为菱形． 解:(1)因为四边形OABC 为菱形,则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0),B (0,1),所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12,代入椭圆方程得t 24＋14＝1, 则t ＝±3,故|AC |＝2 3.(2)证明:假设四边形OABC 为菱形,因为点B 不是W 的顶点,且AC ⊥OB ,所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2,y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点,且m ≠0,k ≠0,所以直线OB 的斜率为－14k ,因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1,所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形,与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形．。