7、平均能量密度： 能量密度的平均值。 w ? 1 ?A2? 2
2
??
8、平均能流密度： 能流密度的平均值。 I ? ? u
二、基本规律
1、简谐振动的动力学方程
d2x ?? 2x ? 0
dt2
d2? ? ? 2? ? 0
dt2
2、简谐振动的运动方程
x ? A cos( ? t ? ? ) ? ? ? 0 cos( ? t ? ? )
mg sin ? ? k1 x ? k2 x2
按图所取坐标,原点取在平衡位置,物体沿x轴移
动x时,两弹簧与分别被拉伸 x1'和x2,'即 x ? x1'? x2 ' 对物体分析受力,有
X k2
k1
F ? mg sin? ? k2 (x2 ? x2?)
k1 (x1 ? x1?) ? k2 (x2 ? x2?) 将(1)代入(2),得 F ? ? k1x1? ? ? k2 x2?
?
?
r1
?
r2
?
?? ? ??? ?
k?
(2k
?
1)
?
2
k ? 0,1,2? ? 加强 k ? 0,1,2? ? 减弱
8、驻波：
振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上 沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 .
x?
? k ? k ? 0,1,?
2
Amax ? 2 A
? (2k ? 1) ?
?
?
?
t=0
t=T/4
1
2
x ? A cos(? t ? ? 0 )
它们所对应的相位分别 为:0, ? /2, ?, 3?/2, 2?.
t=T/2 3
t=3T/4 t=T
24
5
?
? ? /2
3
O 5 1x
3? /2
4
3. 如图所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 k2, 当物体在
光滑斜面上振动时.(1)证明其运动仍是简谐运动;(2)求系统的振
6、一维简谐波的波动方程：
y ? Acos[? (t ? x ) ? ? ] ? Acos[2? ( t ? x ) ? ? ]
u
T?
7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。
??
?
?
2
??1
?
2? (r2 ? ?
r1 )
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 k ? 0,1,2,? ? 减弱
0m
考虑(3)与x的表达式,得
则物体作简谐振动,频率
F
?
?
k1 k 2 k1 ? k2
(x1? ?
x?2 )
?
? kx
?? ? ? 1
k1 ?k1k 22? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
讨论
?? ? ? 1
k1 ?
k1k 2
2? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
(1)由结果可见 ,倾角θ与弹簧 是否作简谐运动及频率无关 . 弹簧无论水平、斜置还是竖直 悬挂,物体均作简谐运动 .其频率
3、由初始条件确定 A ?
A?
x02
?
v
2 0
?2
tan ? ? ? v0 ? x0
4、简谐振动的能量
E
?
Ek
?
EP
?
1 kA 2 2
5、同方向、同频率简谐振动的合成：
A ? A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
tg? ? A1sin?1 ? A2 sin? 2 A1 cos?1 ? A2 cos? 2
? ? ? 0 cos(? t ? ? 0 )
?0 ? ?
t ? 0,? ? ?
?0 ? 0
?
答：? 角是振幅，振动初相位为0
振动的角频率 ? ? g
t=0
l
单摆的角速度
?
d?
dt
?
?? 0?
sin(? t ? ? 0 )
单摆的角速度不是振动的角频率 .
2. 把单摆从平衡位置拉开 ,使摆线与竖直方向成 ?角,然 后放手任其振动 ,试判断图中所示五种运动状态所对应 的相位 .
?
r1)
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 A ? A1 ? A2 k ? 0,1,2,? ? 减弱 A ? A1 ? A2
x?
? k ? k ? 0 ,1, ?
2
Amax ? 2 A
波腹
? (2 k ? 1) ?
4
k ? 0,1 .2 ? Amin ? 0
波节
tg? ? A1 sin ? 1 ? A2 sin ? 2 A1 cos ? 1 ? A2 cos ? 2
动
x
x
y ? A cos[ ? (t ? ) ? ? ] ? A cos(? t ? 2? ? ? )
u
?
u ? ?T
与
? ? 1 ?A 2? 2
??
I ??u
2
波波
??
?
?
2
?
?1
?
2?
(r2 ?
三、基本题型
1、已知运动方程求相应物理量。 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4、已知波动方程求相应物理量。 5、已知一些条件给出波动方程。 6、能解决波的干涉问题。
1. 把一单摆从平衡位置拉开 ,使悬线与竖直方向成一小角 度? ,然后放手任其摆动 ,如果从放手时开始计算时间 ,此? 角是否是振动的初相 ?单摆的角速度是否是振动的角频率 ?
动频率.
k1
k1
k2
X k2
0m
?
分析 要证明一系统作简谐振动 ,须分析受力 ,看是
否满足简谐振动的受力特征 (或动力学方程 ).建立如图
(2)所示的坐标 ,设系统的平衡位置为原点 ,沿x轴物体
受弹力和重力的分力 .利用串联时各弹簧受力相等 ,分
析在任一位置时受力和位移关系 .即可证.
证: 设平衡时两弹簧伸长分别为x1 x2, 则由物体受力平衡,有
k1
m
k 2 (a)
相同.固有频率.
k1
(2)如振动系统并联 (a)或如图(b)
k2 m
所示 ,频率均为
4
k ? 0,1.2? Amin ? 0
波腹 波节
*9、多普勒效应：
? '? u ? vo ?
u ? vs
d2x ? ? 2x ? 0
dt 2
x ? A cos( ? t ? ? ) 旋转矢量法
振
振动
? ? 2? T
1 ??
T
A?
x02
?
v02 ?2
? ? tan(? v0 ) ? x0
A?
A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
振动与波习题课
一、基本概念
1、振幅： 振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2、周期： 振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
3、频率： 单位时间内振动物体完成完整振动的次数
4、相位： 表示谐振动状态的最重要的物理量
5、波长： 振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离 是一个波长
6、波速： 单位时间某种一定的振动状态 (或振动相位 ) 所传播的距离称为波速