2016年全国高考导数压轴题汇编
2016全国各地导数压轴题汇编
1、（2016年全国卷Ｉ理数）
已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点
（I ）求a 的取值范围
（II ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：
221<+x x
2、（2016年全国卷Ｉ文数）
已知函数2)1
a
e
x
f x
=x
x
+
)2
(
-
(
)
(-
（I）讨论)(x f的单调性
（II ）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围
3、（2016年全国卷II 理数）
(I)讨论函数x
x 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++>
(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（） 有
最小值.设g（x）的最小值为()
h a的
h a，求函数()
值域.
4、（2016年全国卷II 文数） 已知函数.
（I ）当时，求曲线在处的切线方程；
(II)若当时，，求的取值范围.
()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a
5、（2016年全国卷III 理数） 设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a ＞0，记|)(|x f 的最大值为A
（Ⅰ）求)(x f '；
（Ⅱ）求A ；
（Ⅲ）证明A x f 2)(≤'
6、（2016年全国卷III 文数）
设函数()ln 1f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x
x x -<<； （Ⅲ）设
1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.
7、（2016年天津理数） 设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间； (Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ，且)()(01x f x f =其中01x x ≠，求证：3201=+x x ；
(Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =,求证：)(x g 在区间]2,0[上
的最大值不小于
．．．41
8、（2016年四川理数） 设函数x
a ax
x f ln )(2
--=其中R a ∈
（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得x
e x
x f -->11)(在区间（1，+∞）内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数)。

9、（2016年山东理数） 已知()2
21()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立
2、 (I)
(i)设，则当时，；当
时，.
所以在单调递减，在单调递增.
(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).
①若，则，所以在
单调递增.
②若，则ln(-2a)<1,故当
时，；
当时，，所以在
单调递增，在单调递减.
③若，则，故当
时，，当时，，所以
在单调递增，在单调递减.
(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b<0且，则，所以有两个零点.
(ii)设a=0，则所以有一个零点.
(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.
又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递
减，在单调递增.又当时<0，
故
不存在两个零点. 综上，a 的
取值范围为
.
3、试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.
222
(1)(2)(2)'()0,
(2)(2)x x x
x x e x e x e f x x x -+--==≥++
且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，
因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20
x
x x e x x e x ->-+-++>
（II ）
22(2)(2)2()(()),
x x e a x x g x f x a x x
-+++==+
由（I ）知，
()f x a
+单调递增，对任意
[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥
因此，存在唯一0
(0,2],x ∈使得0
()0,f x a +=即0
'()0g x =， 当0
0x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；
当0
x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.
因此()g x 在0
x x =处取得最小值，最小值为
000
000022
000(1)+()(1)().2
x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+
于是
0h()2
x e a x =
+，由
2(1)()'0,2(2)2
x x x e x e e x x x +=>+++单调递增
所以，由0
(0,2],x ∈得
0022
01().2022224
x e e e e h a x =<=≤=+++
因为
2
x e x +单调递增，对任意
2
1(,],
24
e λ∈存在唯一的
0(0,2],x ∈0()[0,1),
a f x =∈
使得(),h a λ=所以()h a 的值域是
21(,],24
e
综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24
e
考点： 函数的单调性、极值与最值.
4、【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为
220.
x y +-=（Ⅱ）构造新函数
(1)
()ln 1
-=-
+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，
1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x
，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线
()
=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=
（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x
令
(1)()ln 1
-=-
+a x g x x x ，则
222
122(1)1
(),(1)0(1)(1)
+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，
（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2
22(1)1210
+-+≥-+>x
a x x x ，故
()0,()
'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；
（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得
22121(1)1,1(1)1
=---=-+--x a a x a a ，
由2
1
>x
和12
1
=x x
得1
1<x ，故当2
(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在
2(1,)
∈x x 单调递减，因此()0<g x .
综上，a 的取值范围是(],2.-∞
考点：导数的几何意义，函数的单调性.。