k 1, 2,..., n
则合起来就有:
c11 c12 L c1n
β1
,
β2
,
...,
βn
=
α1
,
α
2
,
...,
αn
c21 M
c22 M
L O
c2n
M
cn1 cn2 L cnn
简记为
β1,β2,...,βn = α1,α2,...,αn C
定义5.6 矩阵C称为由基1, 2,…,n到基1, 2,…, n 的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的.
数集
Q( 2) {a+b 2|a, b Q}
也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于 有理数域.
二. 线性空间的定义和例子
对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域 上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两 种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间.
(1, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T
作业
习题A
第98页
1 、2、3、6 、7、8
练习题
习题B
第100页
1、 2、 4 、5
§3 线 性 变 换
线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变 换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系.
一. 定义和例子
定义5.7 设ℱ是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足 , VK, kK都有
C
y2
M
yn
yn
由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x=Cy.
如例1中, =(1, 2, 3)T在基1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T, 3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T, 且由基1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵为(1, 2, 3), 所以, =(1, 2, 3)T在基 1, 2, 3下的坐标为:
由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.
定义5.5 设1, 2,…, n是线性空间VK的一组基, 如 果VK可以表示为:
=x11+x22+…+xnn
则称(x1, x2,…xn)T为向量在基1, 2,…, n下的坐标. 可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.
,
E22
0
0
0
1
11 0 0 0
AA
0 0
0 1
1 0
0
0
0
0
0
1
定理5.4 设线性变换ℱ在基1, 2,…,n下的矩阵是A, 向量在基1,2,…,n下的坐标为x=(x1, x2,…, xn)T,则ℱ() 在这组基下的坐标是Ax.
证明 因为=x11+x22+…+xnn, 所以 ℱ()=x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xnℱ(n) =(ℱ(1), ℱ(2),…, ℱ(n))x =(1, 2,…, n)TAx
00 11 0 0L 00 00 1 1L
AA MM MMMMO 00 00 0 0L 00 00 0 0L
0
0
M
n 2
0
AR22, 定义ℱ(A)=AT, 则ℱ在基E11, E12, E21, E22下 的矩阵为:
E11
1 0
0 0
,
E12
0
0
1 0
,E21
0 1
0 0
按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它 的称为非平凡子空间.
定理5.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算 是封闭的. 即
, U, kK, 都有+U, kU
例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子
-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2)) =((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2
3. 0=0, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 由1.得0=0 .
4. 若k=0, 则, k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0
三. 子空间
定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的 子空间.
定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在 V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足
(1) +=+(加法交换律); (2) (+)+=+(+)(加法结合律); (3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K;
第五章 线性空间与线性变换
线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线 性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的 概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.
§1 线性空间的概念
一. 数域 定义5.1 设K是一个数集, 如果 (1) 0, 1K ; (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.
单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵. 线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2,…, xn-1 下的矩阵为:
00 11 0 0L 00 00 2 2L
AA MM MMMMO 00 00 0 0L 00 00 0 0L
0
0
M
n 1
0
线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2/2,…, xn-1/(n-1)下的矩阵为:
设线性空间R3的线性变换ℱ在基1, 2, 3下的矩
1 1 2
A
0
1
2
0 2 1
求ℱ在基1=1, 2=-31-22+23, 3=1+22+23下的矩阵.
所以, ℱ()在基1,2,…,n下的坐标是Ax.
定理5.5 设ℱ是线性空间V的线性变换, 如果ℱ在两组
基1, 2,…,n和1, 2,…,n下的矩阵分别为A和B, 且由基 1, 2,…,n到基1, 2,…, n的过渡矩阵为C, 则B=C-1AC.
证明 由于 ℱ(1, 2,…, n)=(1, 2,…, n)A
则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.
线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量. 例如:
数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法 和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.
数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和 乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.
也就是 其中
ℱ(1, 2,…, n)=(1, 2,…, n)A
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M O
an1
an2
L
a1n
a2n
M
ann
矩阵A的第j列为向量ℱ(j)在基1, 2,…,n下的坐标.
矩阵A称为线性变换ℱ在基1, 2,…,n下的矩阵.
例如 零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵.
解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.
所以, 向量在基1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T.
也可以写成:
2
1
,2,31 2 Nhomakorabea1 2
一般地, 向量在基1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T, 也可表示为:
x1
1 , 2 , ..., n
x2
为恒等变换或单位变换.
线性变换ℱ具有下列简单性质:
(1) ℱ(0)=0;
(2) ℱ()= ℱ();
(3) ℱ(x11+x22+…+xmm) =x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xmℱ(m)
二. 线性变换的矩阵
设ℱ为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2,…, n是VK 的一组基, VK, 如果=x11+x22+…+xnn, 则
于是
(1, 2,…, n)=(1, 2,…, n)C
(1, 2,…, n)B=ℱ(1, 2,…, n)=ℱ[(1, 2,…, n)C]
= [ℱ(1, 2,…, n)]C=(1, 2,…, n)AC
=(1, 2,…, n)C-1AC
由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C-1AC.
例2 阵为
空间. K[x]n是K[x]的子空间. Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间. 设1, 2,…r 是线性空间VK中的一组向量, 则 L(1, 2,…r)={k11+k22+…+krr|k1,k2,…,krK}
是VK的子空间. 称为由1, 2,…r生成的子空间.
§2 基 维数 坐标
齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间, 我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示. 这 是线性空间的重要性质.
实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U, 对解 向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性 空间.
数域K上的所有次数小于n的多项式的集合K[x]n, 对多 项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间.