∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜
1 3
则1-3x＞0；
可用均值不等式法∵0＜x＜ 1 ，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
1 3

3x（1-3x3）≤1 3
(
3x

1 2

3x
)
2

1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=
1时 6
ymax=
1 12
2. 函数y=
x

x
1
1(x
≥
0)的最小值为____1__,此时x=____0__.
的最大值是（ Ｄ ）
A、40 B、10 C、4 D、2
四、巩固练习
1:求函数
y
x(a

4x)(0

x

a 4
,a

R)的最大值,并求出相应x的值.2、 求函数
的最小值。
1:求函数
y
x(a

4x)(0

x

a 4
,a

R
)
的最大值,
并求出相应x的值. 解： 0 x a , a 4x 0 4
解：
y

x2 4x 5 2x 4

(x 2)2 1 2(x 2)

1 2
( x

2)
x
1
2

≥1
当且仅当 x 2 1 ，即 x 3 时等号成立． x2
1、设 a,b R且a+b=3,求２a＋２b的最小值_4__2。
2、设 x, y满足 x 4y 40，且 x 0, y 0则 lg x lg y
—求函数的最值
一、基本不等式回顾
1、 如果a, b是正数, 那么 a b ab 2
(当且仅当 a＝b 时取“=”号) (均值不等式)
特别地， a＝b =0时也成立
2、公式变形：
a b 2 ab
ab ( a b)2 （当a、b ∈R成立吗？） 2
a b ab 2
(a, b是正数,当且仅当 a＝b 时取“=”号)
x 1
2 (x 1) 9 2 8 x 1
当且仅当 x 1 9 ，即 x 3 时等号成立． x 1
五、课后练习
1、求
的值域。
2、思考：
已知
，且
求
的最小值
六、学习小结
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”
２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能；
创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
又∵ 4x (a 4x) a
∴ y x(a 4x) 1 4x (a 4x) 2
1 4x (a 4x) a
22
4
a
当且仅当4x=a-4x,即x= 8 时，取等号。
2、求函数
的最小值。
解：y x2 8 (x 1)2 2(x 1) 9
x 1
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值；
一正二定三 相等
和定积最大 积定和最小
二、例题分析
1、已知：0＜x＜
1 3
，求函数y=x（1-3x）的最大值
分析、挖掘隐含条件
配凑成和成 定值
构造积为 定值
解:
y x 1 x1

x 1
1 x1
1≥2-1=1
当且仅当 x 1 1 即x 0 时取“=”号
x1
3、已知 x≥ 5
2
Ａ．最大值 5 2
Ｃ．最大值1
，则
x2 4x 5 f (x)
有（ Ｄ ）
2x 4
Ｂ．最小值 5 4
Ｄ．最小值1 拆分法