初中数学数学思想及常见的解题方法一、数学思想数学思想与方法是数学学习的灵魂，假如数学思想是战略的话，数学方法就是具体的战术，数学方法是在数学思想的指导下采取的具体的解题办法．如在“转化与化归”思想的指导下，采取加减消元法，将含有“两元”的方程组转化为含有“一元”的一元一次方程来解．常见的有四大数学思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合．1.函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解．函数与方程有密切的关系，如一元一次函数b-+yax；b==，就可以看作关于x、y的二元方程0axy+二元方程0bax可以看成y是x的一次函数．可以说，函数的研究离不开+y-=方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想的体现．2.转化与化归转化与化归是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；消元法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了转化与化归思想．如很多四边形的问题可以转化为三角形的问题来研究；研究两直线的位置关系可以转化为研究角的数量关系；如学完初一有理数的运算法则后，将几种运算法则综合起来去认识：减法、乘法是转化为加法来研究的，除法、乘方是转化为乘法来研究的．再如求不规则图形的面积可以将其分割或将其补充，转化为规则图形来求，等等．3.分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想．引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况．（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的．如点与圆的位置关系可以分为三种情况．（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．如研究二次函数c+=2的图象的开口方向时，分a>0和a<0两种情况讨论；y+axbx研究其图象与x轴的位置时，就△>0，△>0，△<0，△=0三种情况进行考虑．（4）解某些条件开放题时，需要根据条件的几种可能情况进行分类．如“过一个三角形一边上一点，做一条直线，将原三角形分为两部分，使截得的三角形与原三角形相似，共有几种办法”，这就需要就直线的位置进行分类，共有四种办法．再如证明圆周角定理时，就圆心在圆周角的内部、外部、边上三种情况进行证明等．进行分类讨论时，要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复．4.数形结合初中数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如简单的几何图形、三角形、四边形、相似形、解直角三角形、圆等；一类是关于数形的结合，如数轴上的点和数之间的对应关系，再如锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的，等．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，再如“已知线段AB =2cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC =6cm ，则线段AC 的长是 ”，解本题可以画出图形，找出点C 的两种不同位置；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用函数解析式来精确地阐明函数图象的几何性质等，再如根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系或根据两圆的半径与圆心距之间的数量关系来判断两圆之间的位置关系等．二、常见的解题方法下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的．一、客观题的解题方法选择题是给出条件和结论，根据一定的关系找出正确答案的一类题型．填空题是未给出答案，需要根据已知条件，运用一定的推理来求得答案．要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧．下面结合实例介绍常用方法．1．直接法 直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论．如一个蚂蚁（看成一个点）在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点左侧．若蚂蚁沿数轴向右移动3个单位，再向左移动4个单位，此时蚂蚁所表示的数是 ．解这道题必须画出图形，找出蚂蚁最后在数轴上的位置．再如某幢建筑物，从10米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面403 米，则水流下落点B 离墙距离是（ ）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米解这道题要从已知条件入手，画出图形，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进一步求解．2．验证法（代入法） 由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，也可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案．如若反比例函数y =xk （k 为常数，k 不为零）的图象经过点（3，4），则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．（6，8）B ．（-6，8）C ．（-3，4）D ． （-3，-4）解这道题就得将每个选择支中的横坐标代入函数关系式，求其对应的纵坐标的值，然后验证．3．特殊元素法 用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答． 如若20052006a =，20062007b = ，20072008c =，则下列不等式关系成立的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<要比较a ，b ，c 的大小，可以转化为比较21，32，43再如如图，AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C ，D是弧AB 的两个四等分点，点P 是AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积是 ． 已知点P 是AB 上任意一点，当然也可以是特殊点即圆心O ，这样就将不规则图形的面积等价地转化为规则图形的面积．4．排除、筛选法 根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而得出正确的结论．如“嫦娥一号”卫星发射后首先被送入一个地球同步椭圆轨道，通过加速再进入一个更大的椭圆轨道，距离地面最远为12.8万公里，这个距离用科学计数法表示为（ ） A ．310128⨯公里 B ．61028.1⨯公里 C ．51028.1⨯公里 D ．610128.0⨯公里从四个选择支看，A ，D 显然不符合定义，从而在B ，C 中选一个即可．二、综合题目的解题方法1．配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式，用的最多的是配成完全平方式．配方法在因式分解、化简根式、解方程、证明等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用．==，则x y = ．解这题需通过配方，将x y 变为()y x y x 32-+，然后运用韦达定理求值．2．因式分解法 因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式．因式分解在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用．因式分解的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项添项法等等． 如在求分式的值时可以将分子分母分解因式，然后约分，达到化简的目的，再如十字相乘法在解一元二次方程时经常用到．3．换元法 换元法是用新的变元去代替原代数式的一部分或改造后的一部分，得到新的代数式，使问题简化．体现了转化的数学思想．如在解一元二次方程121686-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 时，可设16+=x y ，则原方程就等价地变为01272=++y y ，再解就容易了．4．判别式法 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式△=b 2-4ac ，不仅用来判定根的性质、判断二次函数图象与x 轴的位置关系，而且作为一种解题方法，在代数式变形、解方程(组)、解不等式（组）、研究函数等方面有广泛的应用．如求函数212+-=x x y 的自变量x 的取值范围．二次函数22+-x x 的开口向上，△<0，无论x 取何实数，22+-x x 的值均是正数，从而x 的取值范围是全体实数．5．待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值，从而解答数学问题．如求函数解析式时，经常用到这种方法．6．图解法 有些题目，可以用数形（或数表）结合的方法来解，通过对图形（或函数图象或表格）的观察、分析，然后作出正确的判断，叫做图解法．如解方程组：⎩⎨⎧=-=+32,12y x y x ．可先把方程组中的每个方程化成一次函数的形式，在平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象，其图象的交点坐标就是原方程组的解．再如：一次函数b kx y +=（k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等式0>+b kx 的解集为 ．不等式0>+b kx 的解集，就是一次函数的图象上位于x 轴上方的射线上所对应的x 的值．7．反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种方法称为反证法．直接证明有困难时常用反证法．反证法是一种常用的间接证明方法，其逻辑依据是排中律：两个互相矛盾的判断不能都是假的．运用反证法的关键是找出所证明的结论的反面是什么．用反证法证明的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．如若1a ，2a ， 3a ，4a 都是正数，且4321a a a a +++=1，则这四个数中至少有一个大于或等于41．利用反证法证明这一结论时，关键是要确定“这四个数中至少有一个大于或等于41”的反面是什么．一定要正确理解“至少有一个”“大于或等于”的反面的含义．再如证明“圆的切线垂直于过切点的直径”时也可以用反证法．8．不完全归纳法 通过对特殊情形的观察、实验、猜想，从而归纳出一般的结论的方法叫做不完全归纳法．不完全归纳法多用于探索规律题．如将一张矩形纸片对折，可以得到1条折痕；对折2次（对折时折痕与上次的折痕保持平行），可以得到3条折痕；对折3次，可以得到7条折痕；对折4次，可以得到15条折痕；如果对折n 次，可以得到多少条折痕？这题的数学模型是：已知1，3，7，15，…，求第n 个数．解题的关键是找出各项与对应的序号之间的关系．再如计算：211-= ；221111-= ；222111111-= ；…；猜想 = ．解这道题用到的方法也是不完全归纳法． 2221111ΛΛ-n 个22n 个19．构造法 在解题时，会通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决．运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决．如点E 是△ABC 的边AC 上一点，且AE =2EC ，BE =8，AD ⊥BC 于D ，1tan 4EBC ∠=．求AD 的长．解这题的关键是通过添加辅助线，构造∠EBC 所在的直角三角形．初中所学的三角函数都是在直角三角形中定义的，已知一个角的三角函数，一般是找出或者构造这个角所在的直角三角形．10．等积法 平面几何中讲的面积公式，不仅可用于计算面积，而且用它证明平面几何题．面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过解方程达到求证的结果．如在Rt △ABC 中，∠C=︒90，AB =13，AC =12，BC =5，求AB 边上的高AD 的长．这题的解法是：因为S △ABC =12AB ×C D ，又S △ABC =12AC ×BC ，所以 12AB ×CD =12AC ×BC ，即13×CD =12×5，得CD =6013．不用添加辅助线做出高，利用等积法，列出等式，解方程即可．。