等差数列及其前n项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。

2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。

知识回顾：1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等丁同一个常数，那么这个数列就叫等差数歹0,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为a n a n1 d(n 2)或a n1 a n d (n 1)。

(证明数歹0是等差数歹0的关键)2. 通项公式：等差数列的通项为：a n a i (n i)d，当d 0时，a n是关丁n的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。

推广：a n a m (n m)d3. 中项：如果a , A , b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中A J。

24. 等差数列的前n项和公式S n座U na i虹皂d可以整理成&= Sn2+(a i d)n。

当d』时是n的一个常数 2 2 2 2项为0的二次函数。

5. 等差数列项的性质(1) 在等差数歹0 a n中，若m , n , p , q N且m n p q ,则a m a n a p a q ；特别的，若m , p , q N 且2m p q ,则2a m a p a q。

(2) 已知数列a n , b n为等差数列，S n,T n为其前n项和，则冬b n T2n 1(3) 若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n Sn,S3n S2n,也成等差数列，公差d' n2d ；S,(n 1) a n(4) S n & 1 , (n 2).(5)若数列｛%｝是公差为d的等差数列，则数列斜也是等差数列，且公差为考点分析考点一：等差数列基本量计算例1、等差数列｛a n｝中，a i 3a8血120，贝U 3a’ a,的值为练习（1）设S n是等差数列a n的前n项和.已知a2 = 3, a6 = 11,则S7等丁A . 13B . 35 C. 49 D . 63（2）数歹U a n为等差数歹0,且a7 2a4 1 , a3 0 ,则公差d =1 - 1A. -2B. —2C. 2D. 2（3）在等差数列a n中，已知a3 2,贝U该数列的前5项之和为A. 10B. 16C. 20D. 32（4）若等差数列｛a n｝的前5项和& = 25,且a2= 3,则a7等丁（）A . 12B . 13 C. 14 D. 151（5）记等差数列｛a n｝的前n项和为&,若a1 = 2, S4= 20,则S等丁（）A. 16B. 24C. 36D. 48(6) a n的前n项和为S n,若a〔2 ,S3 12，则a6 等丁（A. 8B. 10C. 12D. 14知点一：等差数列性质应用例1、等差数列a n中，3（a3 a5）20 a〔。

褊）24 ,贝U该数列前13项的和是（）A. 13B. 26C. 52D. 156练习1、在等差数列a n中，a1 a9 10 ,则a5的值为A. 5B. 6C. 8D. 642、在等差数列｛a n｝中,a〔2,a3 a5 10 ,则a’（）A . 5 B. 8 C. 10 D . 143、设数歹0 ｛an｝是等差数歹0,若aa+ a4 + & = 12,则a〔+ &+•…+ a’等丁（）A . 14B . 21 C. 28 D . 35例2、设等差数歹0 ｛a n｝的前n项和为若&= 9, &= 36,则a7 + 38 + a g等丁()A . 63 B. 45 C. 36 D. 27练习、已知等差数歹0 ｛an｝的前n项和为S,且So= 10, &= 30,则 &=.S2 014 S2 008例3、已知S n是等差数歹0 ｛a n｝的前n项和，右a = — 2 014 , 2014一2 008 = 6’则&。

16 = .一... ............. ..... .. 一…S3 S2 ...................................... .........练习、(1)已知等差数列｛a n｝的前n项和为&且满足--S= 1,则数列｛务｝的公差是( )3 21 -A. 2B. 1C. 2D. 3例4、设S n,T n分别是等差数列a n、b n的前n项和，岛也圣，则冬。

T n n 3 b5例5、已知等差数列a n的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为o练习1、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390, 则这个数列有( )A . 13 项B . 12 项C. 11 项D. 10 项2、等差数歹U a n的公差d 2, a〔a4 a?川a97 50,那么a3 a& a g川a99 =A. —78B. —82C. —148D. —182考点三：等差数列的证明例1 :在数歹U (a n)中，a〔1, a n1 1 , b n—2—，其中n N*.4a n 2a n 1(1) 求证：数列(b n)是等差数列；(2) 求证：在数列(a n)中对丁任意的n N*，都有a”为1练习1、数歹U a n满足a〔1, a2 2, a n 2 2a” 1 a” 2(1) 设b n a n 1 a n ，证明b n 是等差数歹U ； (2) 求数列a n 的通项公式。

3 1 一* 1 "2、已知数歹 0 ｛a n ｝中，a 1 = -, a n = 2 (n> 2, n€ N),数歹 0｛欢｝¥两足 b n = ---------------------------- ; (n € N).5 a n 1 a n — 1' ' 求证：数列｛b n ｝是等差数列；小结与拓展：(1)定义法：a n 1a n d ( n N , d 是”) a n 是等差数列;3、数歹0 a n 《两足：a 〔 2 , a n 1 a 〔求证:-是等差数列;a n（2） S n 最值的求法：①若已知S n ,可用二次函数最值的求法（nN ）;②找到正负项 分界的是第几项。

例1、数列a n 中，a n2n 49 ,当数列a n 的前n 项和S n 取得最大值时,n练习1、设等差数列a n 的前n 项和为$ ,若a i 11 , a 4 a &6,则当&取最小值时n 等丁（）A . 6B . 7 C. 8 D . 9 2、若等差数列a n 满足a ? a 8a ’0 , a 8 a ’0 ,则当n __________ 时a n 的前n 项和最大。

例2、在等差数列 &中，a 1 7,公差为d,前n 项和为& ,当且仅当n= 8时，&取得 最大值，则d 的取值范围为。

例3、等差数列a n 中，a 1 0,前n 项和为& ,且仅当S 5 嶷,则当n —时，&取最大练习1、设数列a n 是等差数列，且a 28 , a 15 5 , S n 是数列a ”的前n 项和，WJ （）误的是（）C. S 9 S 5 D . S 6与序均为S n 的最大值S11S11C. S 9 S 102.设 a n (n N ）是等差数歹U, S n 是其前n 项的和，且S 5S 6,S 6 S 7 S 8则下列结论机考点五：等差数列和项转换a n a 〔 S n(n 1)S n 1 (n 2) 例1、已知数列a n 的前n 项和为S nn 2 〔n ,求 a n 。

2练习1、已知数列a n 的前n 项和为S n n 2 2 ,求 a nA. d 0B.. a 7 02、设数列（a n｝的前n项和S n n2,则a8的值为（A . 15 B. 16 C. 49习题15.21、在等差数列a n中，(1) 已知a1 2,d 3,n 10,求a n;(2) 已知a1 3,a n 21,d 2,求n ；(3) 已知a1 12, a6 27,求d ；1 .(4) 已知d 一,a7 8,求a1。

32、在等差数列(a n｝中，(1) 已知 & 48, & 168，求a1,和d(2) 已知a6 10, S5 5 ,求a8和 &(3) a1 20,a n 54,S n 599,求d 及n；，.、 1 - .、一(4) d -,n 37,S n 629,求a〔及a” ；3一、 5 . 1 一(5) a〔-,d —,S n 5,求n及a” ；6 6(6) d 2,n 15, a n 10,求a^S n。

3、等差数列(a n｝的前n项和记为S n，已知a10 30, a2050。

(1) 求通项公式(an｝;(2) 若S n 242，求n。

4、设S n为等差数列(a n)的前n项和，若& 3, S6 24 ,则a95、等差数列(a n)的前n项和S n ,若a i 2, S3 12 ,则a6 ( )A. 8B. 10C. 12D. 146、已知道单调递增的等差数列a n的前三项和为21,前三项积为231，则a n7、在等差数歹0 a n中，a5 120，则a2 a4 a6 a88、数列a n中，a n 2n 49,当数列a”的前n项和&取得最大值时,n9、数列a n是首项为23,公差为整数的等差数歹0,且第六项为正，第七项为负(1) 求数歹U的公差；(2) 求前n项和&的最大值；(3) 当S n 。

时，求n的最大值。

(2) 中项法：2a n1 a n a n 2(n N ) a n是等差数歹U;(3) 通项公式法：a n kn b (k,b是常数) a”是等差数列；(4) 前n项和法：S n= kn2 3 4 + bn ( k,b是常数) a”是等差数列考点四：等差数列前n项和的最值(1) a1 0 , d 0时，S n有最大值；a1 0 , d 0时，S n有最小值;。