勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
========Edward补充========
对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如：
n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5）
=========ShangJingbo补充=======
还有诸如此类的勾股数，20、21、29；
119、120、169；
696、697、985；
4059、4060、5741；
23660、23661、33461；
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109常见的几种通式：
(1) （3，4，5）, （6，8，10）… …
3n,4n,5n (n是正整数)
(2) （5，12，13）,（7，24，25）, （9，40，41）… …
2n ＋1, 2n^2 ＋2n, 2n^2 ＋2n ＋1 (n是正整数)
(3) (8，15，17), (12，35，37) … …
2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数)
(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n均是正整数，m>n)
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1) 2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13 =182
常用勾股数口诀记忆
3，4，5 ：三四五
5，12，13 ：5·12记一生
8，15，17 ：八月十五再一起
7，24，25 ：企鹅是二百五
勾股数须知
连续的勾股数只有3，4，5。