高中数学必修知识点总结必修一一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性3.集合的表示方法:列举法与描述法。
非负整数集(即自然数集)记作:正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R二、集合间的基本关系1.对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B…2、子集与真子集3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.4、全集与补集>(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(3)性质:二、函数的有关概念1、函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.☆构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域2、补充一:分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.补充二:复合函数'如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。
补充三:抽象函数3、函数的解析式的常用求法:1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、配方法4、函数的值域的常用求法:1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法5、函数单调性(1).设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
区间D称为y=f(x)的单调增区间如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;{(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.☆(3).函数单调区间与单调性的判定方法(1) 定义法:任取x1,x2∈D,且x1<x2;2 作差f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(2)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关(3)分段函数的单调性考点:单调性的应用6.函数的奇偶性一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.%☆注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.考点:(1)奇偶性的应用(2)奇偶性与对称性(3)奇偶性,对称性与周期性三:基本初等函数1、指数函数2、对数函数3、幂函数 四: 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数f(x),把使f(x)=0成立的实数,叫做函数f(x)的零点。
…2、函数零点的意义:函数 f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根,亦即函数f(x)的图象与x 轴交点的横坐标3、函数零点的求法: 求函数 f(x)的零点:1 (代数法)求方程 f(x)=0的实数根;2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.考点:判断方程零点的个数 高中数学必修2知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°](2)直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即当[)90,0∈α时,0≥k ; 当()180,90∈α时,0<k ; 当90=α时,k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式:)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点:(1)当21x x =时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k 与P 1、P 2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式:)(11x x k y y -=-直线斜率k ,且过点()11,y x 注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y =y 1。
'当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1,所以它的方程是x =x 1。
②斜截式:b kx y +=,直线斜率为k ,直线在y 轴上的截距为b③两点式:112121y y x x y y x x --=--(1212,x x y y ≠≠)直线两点()11,y x ,()22,y x ④截矩式:1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式:0=++CBy Ax (A ,B 不全为0)注意:○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如:平行于x 轴的直线:b y =(b 为常数); 平行于y 轴的直线:a x =(a 为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系&平行于已知直线0000=++C y B x A (00,B A 是不全为0的常数)的直线系:000=++C y B x A (C 为常数)(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为k 的直线系:()00x x k y y -=-,直线过定点()00,y x ;(ⅱ)过两条直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ(λ为参数),其中直线2l 不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直当111:b x k y l +=,222:b x k y l +=时,212121,//b b k k l l ≠=⇔;12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点:0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ; 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 (8)两点间距离公式:设1122(,),A x y B x y ,()是平面直角坐标系中的两个点,则||AB =(9)点到直线距离公式:一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程(1)标准方程()()222r b y a x =-+-,圆心()b a ,,半径为r ;(2)一般方程022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ,半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D时,表示一个点; 当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出D ,E ,F ;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。