1.2.2 单位圆与三角函数线1.了解三角函数线的意义.(重点)2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(难点)[基础·初探]教材整理1 单位圆阅读教材P 19“第1行”～“第12行”，完成下列问题. 单位圆：我们把半径为1的圆叫做单位圆.角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是________. 【解析】 由于角5π6的终边与单位圆的交点横坐标是cos 5π6＝－32，纵坐标是sin5π6＝12，∴角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 教材整理2 三角函数线阅读教材P 19“第13行”～P 20“例”以上部分，完成下列问题.如图1­2­2所示，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P (cos α，sin α).图1­2­2其中cos α＝OM ，sin α＝ON .这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)，则tan α＝AT (或AT ′).我们把轴上向量OM →，ON →和AT →(或AT ′→)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.图1­2­3如图1­2­3，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A.正弦线PM →，正切线A ′T ′→B.正弦线MP →，正切线A ′T ′→C.正弦线MP →，正切线AT →D.正弦线PM →，正切线AT →【解析】 由三角函数线的定义知C 正确. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]三角函数线的概念(1)(2016·济宁高一检测)设P 点为角α的终边与单位圆O 的交点，且sin α＝MP ，cos α＝OM ，则下列命题成立的是( )A.总有MP ＋OM ＞1B.总有MP ＋OM ＝1C.存在角α，使MP ＋OM ＝1D.不存在角α，使MP ＋OM ＜0(2)分别作出34π和－47π的正弦线、余弦线和正切线.【自主解答】 (1)显然，当角α的终边不在第一象限时，MP ＋OM ＜1，MP ＋OM ＜0都有可能成立；当角α的终边落在x 轴或y 轴正半轴时，MP ＋OM ＝1，故选C.【答案】 C(2)①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox 轴为始边作34π角，角的终边与单位圆交于点P ，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 轴正方向的交点A 作Ox 轴的垂线，与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 34π＝MP ，cos 34π＝OM ，tan 34π＝AT ，即34π的正弦线为MP →，余弦线为OM →，正切线为AT →.②同理可作出－47π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝M 1P 1， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝O 1M 1， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝A 1T 1，即－47π的正弦线为M 1P 1→，余弦线为O 1M 1→，正切线为A 1T 1→.1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.2.作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T ，即可得到正切线AT →，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线.[再练一题] 1.下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3【解析】 由三角函数线的定义①③正确，②④不正确. 【答案】 C解三角不等式在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【导学号：72010009】【精彩点拨】 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围.【自主解答】 (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤： (1)作出取等号的角的终边；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； (3)将图中的范围用不等式表示出来.2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.[再练一题]2.求y ＝lg(1－2cos x )的定义域.【解】 如图所示，∵1－2cos x ＞0，∴cos x ＜22， ∴2k π＋π4＜x ＜2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数定义域为：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋7π4(k ∈Z ).[探究共研型]三角函数线问题探究1 )，点T 的坐标为(1，tan α)呢？【提示】 由三角函数的定义可知sin α＝yr ，cos α＝x r，而在单位圆中，r ＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x ＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝y x，知纵坐标y ＝tan α，所以点T 的坐标为(1，tan α).探究2 如何利用三角函数线比较大小？【提示】 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负.已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，试比较sin α，α，tan α的大小.【精彩点拨】 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决.【自主解答】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，单位圆交x 轴正半轴于点A ，作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，作AT ⊥x 轴，交α的终边于点T ，由三角函数线定义，得sin α＝MP ，tan α＝AT ，又α＝的长，∴S △AOP ＝12·OA ·MP ＝12sin α， S 扇形AOP ＝12··OA＝12·＝12α，S △AOT ＝12·OA ·AT ＝12tan α.又∵S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ， ∴sin α＜α＜tan α.1.本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题.2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题.[再练一题]3.利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1.【证明】 在△OMP 中，OP ＝1，OM ＝|cos α|，MP ＝|sin α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cos α|＞1.当点P 在坐标轴上时，|sin α|＋|cos α|＝1. 综上可知，|sin α|＋|cos α|≥1.[构建·体系]1.如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线，则下列结论正确的是( )A.MP <OM <0B.MP >OM >0C.MP <0<OMD.OM >MP >0【解析】 因为α＝3π16<π4，所以余弦线大于正弦线，且大于0.【答案】 D2.已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4【解析】 由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4.【答案】 C3.(2016·济南高一期末)在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 【解析】 画出单位圆，结合正弦线得出sin x ≥12的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【答案】 B4.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________. 【解析】 ∵π4<1<π3，∴正弦线大于余弦线的长度，∴sin 1>cos 1. 【答案】 sin 1>cos 15.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边. (1)sin α＝23；(2)cos α＝－35.【导学号：72010010】【解】 (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图甲.甲 乙(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图乙.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(四) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上.故选B. 【答案】 B2.(2016·石家庄高一检测)如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ【解析】 由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.【答案】 A3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.【答案】 C4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sinα＋cos α＝23，∴α必为钝角.【答案】 D5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.【答案】 B 二、填空题6.(2016·西安高一检测)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.【解析】 作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 【答案】 AT >MP >OM7.(2016·济南高一检测)函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.【导学号：72010011】【解析】 要使函数有意义， 有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________. 【解析】 因为5π6＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP →，OM →的数量分别为a ，b ， 所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 【答案】 第四象限 三、解答题9.画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.【解】如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线.sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10.求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域. 【解】 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z. [能力提升]1.已知sin α＞sin β，那么下列结论成立的是( ) A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤π2，cos α＜cos β，故A 错；第二象限，则π2≤α＜β≤π，tan α＜tan β，故B 错；第三象限，则π≤α＜β≤3π2，cos α＜cos β，故C 错；第四象限，则3π2≤β＜α≤2π，tan α>tan β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D 正确.【答案】 D2.满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z【解析】 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .【答案】 A3.(2016·东莞高一检测)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________.①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0. 【解析】 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.【答案】 ④4.(2016·德州高一检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足.∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2.。