振动y 的周期是 T 2π . 较为复杂的周期运动, 则
常常是几个简谐振动
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yk Ak sin(k x k ) , k 1, 2, , n
的叠加：
n
n
y yk Ak sin(k x k ).
(2)
k 1
k 1
由于简谐振动
yk
的周期为 T k
T
2π
,
k
1, 2,
, n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A0 An sin(n x n ).
(3)
n1
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
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动现象. 对于级数(3), 只须讨论 1(如果 1可
用 x 代换x )的情形. 由于
sin(nx n ) sinn cos nx cosn sin nx,
|
a0 2
|
n1
(|
an
|
|
bn
|).
收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 对任何实数x,由于
| an cos nx bn sin nx || an | | bn |, 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
(4)
它是由三角函数列(也称为三角函数系)
1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x, ,cos nx,sin nx, (5)
所产生的一般形式的三角级数.
容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一
个以 2π 为周期的函数.
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
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定理 15.1 若级数
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有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
π
π π
cos mx cos nxdx 0 sin mx sin nxdx 0
(m (m
nn)),,
π π
π
π f ( x)cos kx dx ak π (k 1,2, ).
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即
ak
1 π
π
f ( x)cos kxdx
π
(k 1,2,
).
同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得
bk
1 π
π
f ( x)sin kx dx
π
(k 1,2,
).
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由此可知, 若f 是以 2π 为周期且在 [ , ]上可积的
所以
A0 An sin(nx n ) n1
A0 ( An sinn cos nx An cosn sin nx). (3) n1
记
A0
a0 2
,
An
sinn
an ,
An
cosn
bn , n
1, 2,
,
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则级数( 3 )可写成
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx).
有
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π
f ( x)cos kxdx π
a0 2
π
π
cos kxdx
π
(an
cos nx cos kxdx
π
n1
π
bn
sin nx cos kxdx).
π
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一 项积分
π cos2 kxdx π π
外,其他各项积分都等于0,于是得出:
函数, 则可按公式(10)计算出 an和 bn , 它们称为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里
叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数
即
a0
1 π
π
f ( x)dx.
π
又以 cos kx 乘(9)式两边 (k为正整数), 得
f ( x)cos kx a0 cos kx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx). (11) n1
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可
得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,
证 由定理条件, 函数 f 在[ , ]上连续且可积. 对
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π
a0 2
π
dx
π
(an
n1
π
π cos nxdx bn
π
sin nxdx).
π
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
π π
f
( x)dx
a0 2
2π
a0π,
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定理15.2 若在整个数轴上
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
(9)
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
an
1 π
π
f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,
π
,
(10a)
bn
1 π
π
f ( x)sin nxdx , n 1,2,
π
,
(10b)
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则称 与 在 [a, b]上是正交的, 或在 [a, b]上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在 [π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
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二、以2 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数 a0 , an , bn 之间的关系.
一、三角级数·正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
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一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
y Asin( x )
(1)
来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,
其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐
§1 傅里叶级数
一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数.
cos mx s
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
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不等于零, 即
π cos2 nxdx π
π π
sin2
xdx
π,
π 12dx 2 π π
(8)
若两个函数 与 在 [a, b] 上可积, 且
b
a ( x) ( x)dx 0