N 3 2 6. 答：有6种不同的选法。
不同排法如下图所示
相应的排法
白班
甲 乙 丙
晚班 乙 丙 甲 丙 甲 乙
白班
甲 甲 乙 乙 丙 丙
晚班
乙 丙 甲 丙 甲 乙
例4 用数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个 三位数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …， 做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类 完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就 用分步计数原理。
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种 方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一 个人来完成这件工作，共有多少种选法？ 2．乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + ｃ5 )展开后共有项？
4 + 5 = 9
分步计数原理又叫作“乘法原理”
理解分步计数原理
⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各 个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做 乘法原理 ；
（2）完成这件事的任何一种方法必须连续 完成每一个步骤．
分类计数原理与分步计数原理的区别
联系：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成 一件事的不同方法的种数的问题。 区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相 互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关， 各个步骤相互依 存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
火车1－汽车1 火车1－汽车2 火车2－汽车2 火车3－汽车1
火车2－汽车1 火车3－汽车2
分步计数原理
• 完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有 m1 种 不同的方法，做第2步有 2 种不同的方法……做第 ｎ步有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有
m
N＝
m1 m2 ... mn
种不同的方法．
N＝m1 ＋m2 ＋ ＋ mn
种不同的方法
分类计数原理又称“加法原理”
问题2 从诸城到城阳机场，要从诸城先乘火车到青 岛，再从青岛乘汽车到城阳机场。一天中，火车有 3班，汽车有2班，那么，从诸城到城阳机场共有多 少种不同的走法？
火车1 汽车1
诸城
火车2 火车3
青岛
城阳机场
汽车2
3 2 6(种）
典例分析 例2 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共 10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个 拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨 号盘上各取1数字组成的个数是
N=10×10×10×10=104
答：可以组成10000个四位数字号码。 本题的特点是数字可以重复使用，例如0000， 1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每 一步的方法数 m=10，有n=4个步骤,结果是总个数
分类计数原理与分步计数原理(一)
情景探究
问题1 从诸城 青岛，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么 一天中，乘坐这些交通工具从诸城到青岛共有 多少种不同的走法？
火车1 火车2
诸城
火车3 汽车1 汽车2
青岛
3+2=5（种）
分类加法计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中 有m1 种不同的方法，在第2类方法中有 m2 种 不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不同 的方法，那么完成这件事共有
第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个 数字，共有5种选法；
第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这 仍有5种选法； 第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。 根据分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：
N = 5 ×5 ×5 = 53 = 125
答：可以组成125个三位数。
练习巩固
３×４×５＝６０
3、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 是( C ) A. 12 B.64 C.81 D.7 4、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的 可能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
总结：
１．分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一 类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方 法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事 共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的 取法。
变式训练 1.诸城一中勤学楼楼共有3处楼梯口,问从1楼到5 楼共有多少种不同的走法?
答： 3×3×3×3=34=81（种）
2. 四名重本生各从A、B、 C三位教师中选一位作 自己的导师，共有______ 34 种选法；三名教师各从 四名重本生中选一位作自己的学生，共有_____ 43 种 选法。
N=104 。
变式训练 1.诸城一中勤学楼楼共有3处楼梯口,问从1楼到5 楼共有多少种不同的走法?
答： 3×3×3×3=34=81（种）
2. 在1~20共20个整数中取两个数相加,使其 和为偶数的不同取法共有多少种?
答.：(10×9+10×9)/2=90（种）.
3. 四名重本生各从A、B、 C三位教师中选一位作 自己的导师，共有______ 34 种选法；三名教师各从 四名重本生中选一位作自己的学生，析
例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上白班和晚班，有多少种不同的 选法？
解：从3名工人中选出2名分别上白班和晚班， 可以看成是经过先选1名上白班，再选1名上 晚班这两个步骤完成。先选1名上白班，共有 3种选法；上白班的工人选定后再选1名上晚 班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数 原理,所求的不同的选法数是
种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有 4+3+2=9 分类时要做到不重不漏
种取法。
答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。 (2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知, 共有 4×3×2=24 种取法。 分步时做到不缺步
典例分析
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本 不同的体育书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多 少种不同的取法?
注意区别“分类”与“分 步”
解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3