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哈工大集合论习题课-第六章树及割集习题课(学生)

第六章 树及割集习题课1课堂例题例1 设T 是一棵树,T 有3个度为3顶点,1个2度顶点,其余均是1度顶点。

则(1)求T 有几个1度顶点(2)画出满足上述要求的不同构的两棵树。

分析:对于任一棵树T ,其顶点数p 和边数q 的关系是:1q p =-且1deg()2ipi v q ==∑,根据这些性质容易求解。

解:(1)设该树T 的顶点数为p ,边数为q ,并设树T 中有x 个1度顶点。

于是1deg()33122ipi v x q ==⨯+⨯+=∑且31p x =++,1q p =-,得5x =。

(2)满足上述要求的两棵不同构的无向树,如图1所示。

图1例2设G 是一棵树且()G k ∆≥,证明G 中至少有k 个度为1顶点。

证:设T 中有p 个顶点,s 个树叶,则T 中其余p s -个顶点的度数均大于等于2,且至少有一个顶点的度大于等于k 。

由握手定理可得:1222()2(1)pi i q p deg v p s k s ==-=≥--++∑,有s k ≥。

所以T 中至少有k 个树叶 。

习题例1 若无向图G 中有p 个顶点,1p -条边,则G 为树。

这个命题正确吗为什么解:不正确。

3K 与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边,显然它不是树。

例2设树T 中有2n 个度为1的顶点,有3n 个度为2的顶点,有n 个度为3的顶点,则这棵树有多少个顶点和多少条边解:设T 有p 个顶点,q 条边,则123161q p n n n n =-=++-=-。

由deg()2v Vv q ∈=∑有:1223322(61)122n n n q n n ⨯+⨯+⨯==-=-,解得:n =2。

故11,12q p ==。

例3证明恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。

证:设T 是一棵具有两个顶点度数为1的(,)p q 树,则1q p =-且1deg()2pii v q ==∑2(1)p =-。

又T 除两个顶点度数为1外,其他顶点度均大于等于2,故211deg()2deg()2(1)p p iii i v v p -===+=-∑∑,即21deg()2(2)p ii v p -==-∑。

因此2p -个分支点的度数都恰为2,即T 为一条通路。

例4 画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树。

解:4个顶点的非同构的无向树有两棵,如图21(),()a b 所示; 5个顶点的非同构的无向树有3棵,如图21(),(),()c d e 所示。

(a ) (b) (c) (d) (e)图26个顶点的非同构的无向树有6棵,如图3所示。

图37个顶点的非同构的无向树有11棵,如图4所示。

所画出的树具有6条边,因而七个顶点的度数之和应为12。

由于每个顶点的度数均大于等于1,因而可产生以下七种度数序列127(,,,)d d d L :(1)1111116;(2)1111125;(3)1111134;(4)1111224;(5)1111233;(6)1112223;(7)1122222。

在(1)中只有一个星形图,因而只能产生1棵树1T 。

在(2),(3)中有两个星形图,因而也只能各产生1棵非同构的树,分别设为 23,T T 。

在(4),(5)中有三个星形图,但三个星形图是各有两个是同构的,因而各可产生两棵非同构的树,分别设为45,T T 和67,T T 。

在(6)中,有四个星形图,有三个是同构的,考虑到不同的排 列情况,共可产生三棵非同构的树,设为8910,,T T T 。

在(7)中,有五个星形图,都是同构的,因而可产生1棵树, 设为11T 。

七个顶点的所有非同构的树111T T :如图2所示。

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6T 7 T 8 T 9 T 10 T 11图4例5设无向图G 是由(2)k k ≥棵树构成的森林,至少在G 中添加多少条边才能使G 成为一棵树解:设G 中的k 个连通分支为:12,,,k T T T L ,i v ∈i T ,1,2,,i k =L 。

在G 中添加边1{,}i i v v +,1,2,,1i k =-L ,设所得新图为T ,则T 连通且无回路,因而T 为树。

故所加边的条数1k -是使得G 为树的最小数目。

例6 证明:任意一棵非平凡树都是偶图。

分析:若考虑一下数据结构中树(即有向树)的定义,则可以很简单地将树中的顶点按层次分类,偶数层顶点归于顶点集0V ,奇数层顶点归于顶点集1V ,图G 中每条边的端点一个属于0V ,另一个属于1V ,而不可能存在关联同一个顶点集的边。

同理,对于无向树,可以从任何一个顶点V 出发,给该树的顶点标记奇偶性,例如,v 标记0,与v 相邻的顶点标记1,再给与标记为1的所有相邻的顶点标记0,依次类推,直到把所有的顶点标记完为止。

最后,根据树的性质证明,任何边只可能关联1V (标记为 1的顶点集)和0V (标记为0的顶点集)之间的顶点。

证1从任何一个顶点v 出发,给该树的顶点做标记,v 标记0,与v 相邻的顶点标记1,然后再给与标记为1的所有顶点相邻的顶点标记0,……,依次类推,直到把所有的顶点标记完为止。

下面证明:对于任何边只能关联1V (标记为1的顶点集)和0V (标记为0的顶点集)之间的顶点。

不妨假设,若某条边e 关联1V 中的两个顶点,设为1v 和2v ,又因为根据上述的标记法则,有1v 到v 的路1P 和2v 到v 的路2P 。

设1P 与2P 离1v 和2v 最近的顶点为u ,所以,树中存在回路:11221v PuP v ev ,与树中无回路的性质矛盾。

所以,任意边只能关联1V (标记为1的顶点集)和0V (标记为0的顶点集)之间的顶点。

所以,任意一棵非平凡树都是偶图。

证2 设T 是任一棵非平凡树,则T 无回路,即T 中所有回路长都是零。

而零是偶数,故由偶图的判定定理可知T 是偶图。

例7(1)一棵无向树有i n 个度数为i 的顶点,1,2,,i k =L 。

23,,,k n n n L 均为已知数,问1n 应为多少(2)在(1)中,若(3)r n r k ≤≤未知,()j n j r ≠均为已知数,问rn 应为多少解:(1)设T 为有p 个顶点,q 条边无向树,则1q p =-,1ki i p n ==∑。

由握手定理:1deg 2pii vq ==∑,有11deg 222p ki i i i v in q p =====-∑∑,即112222kki i i i in p n ===-=-∑∑。

①由式①可知:122222(2)2kkki i i i i i n in n i n ====-+=-+∑∑∑。

(2)对于3r ≥,由①可知:11(2)22k r i i i r n i n r =≠=---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑。

例8证明:任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。

证:设T 为一棵非平凡的无向树,12k L v v v =L 为T 中最长的路,若端点1v 和k v 中至少有一个不是树叶,不妨设k v 不是树叶,即有deg()2k v ≥,则k v 除与L 上的顶点1k v -相邻外,必存在1k v +与k v 相邻,而1k v +不在L 上,否则将产生回路。

于是11k k v v v +L 仍为T 的一条比L 更长的路,这与L 为最长的路矛盾。

故k v 必为树叶。

同理,1v 也是树叶。

例9设无向图G 中有p 个顶点,1q -条边,则G 为连通图当且仅当G 中无回路。

证:必要性:因为G 中有p 个顶点,边数1q p =-,又因为G 是连通的,由定理可知G 为树,因而G 中无回路。

充分性:因为G 中无回路,又边数1q p =-,由定理可知G 为树,所以G 是连通的。

例10设G 是一个(,)p g 图,证明:若g p ≥,则G 中必有回路。

证:(1)设G 是连通的,则若G 中无回路,则G 是树,故1q p =-与q p ≥矛盾。

故G 中必有回路。

(2)设G 不连通,则G 中有(2)k k ≥个分支,12,,,k G G G L 。

若G 中无回路,则G 的各个分支(1,2,,)i G i k =L 中也无回路,于是各个分支都是树,所以有:1i i q p =-,1,2,,i k =L 。

相加得:(2)q p k k =-≥与q p ≥矛盾,故G 中必有回路。

综上所述,图G 中必有回路。

例11设12,,,p d d d L 是p 个正整数,2p ≥,且122pi i d p ==-∑。

证明存在一棵顶点度数为12,,,p d d d L 的树。

证:对顶点p 进行归纳证明。

当2p =时,122222d d +=⋅-=,则121d d ==,故以12,d d 为度数的树存在,即为一条边。

设对任意1p -个正整数121,,,p d d d -L ,只要112(1)2p i i d p -==--∑,则存在一棵顶点度数为121,,,p d d d -L 的树。

对p 个正整数'''12,,,pd d d L ,若有'122pi i d p ==-∑,则'''12,,,p d d d L 中必有一个数为1,必有一个数大于等于2;不妨设''11,2p d d =≥,因此对1p -个正整数''''231,,,,1p pd d d d --L ,有1''2(1)2(1)2p i p i d d p -=+-=--∑,故存在一棵顶点度数为''''231,,,,1p p d d d d --L 的树'T 。

设'T 中u 的度数为'1p d -,在'T 中增加一个顶点v 及边{,}u v ,得到一个图T ,则T 为树。

又T 的顶点度数为'''12,,,pd d d L ,故由归纳法知原命题成立。

例题例1 G 的一条边e 不包含在G 的任一回路中当且仅当e 是G 的桥。

分析:这个题给出了判断桥的充要条件,应该记住。

证:必要性:设e 是连通图G 的桥,e 关联的两个顶点是u 和v 。

若e 包含在G 的一个回路中,那么除边e uv =外还有一条分别以u 和v 为端点的路,所以删去边e 后,G 仍是连通的,这与e 是桥相矛盾。

充分性:若边e 不包含在G 的任意回路中,则连接顶点u 和v 只有边e ,而不会有其它连接u 和v 的路。

因为若连接u 和v 还有不同于边e 的路,此路与边e 就组成了一条包含边e 的回路,从而导致矛盾。

所以,删去边e 后,u 和v 就不连通了,故边e 是桥。

例2设G 是连通图,满足下面条件之一的边应具有什么性质(1)在G 的任何生成树中; (2)不在G 的任何生成树中。

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