令y f g 取对数
0型
f g f 1g
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
高等数学（XAUAT）
第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
单调性定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么
(1) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加 (2) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少
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o( x 2n2 )
k0
(2k 1)!
cos x
n
( 1) k
x 2k
o( x 2n1 )
k0
(2k )!
ln(1 x) n (1)k1 x k o( x n )
k 1
k
1
n
x k o( x n )
1 x k0
(1
x)
n k0
k
x
k
o( x n )
k
(
1)(
k!
n
1)
(2)
如
果f
(
x0
)
0，
则f
(
x
)在x
取
0
极
大
值
高等数学（XAUAT）
7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 3. 确定最值点：
(1) 求所有最值可疑点的函数值,比较即知最值(点) (2) 区间上可导函数的唯一极值点必是相应的最值点 (3) 若知函数有唯一最值可疑点, 而由实际问题本身知函数的最
第三章 中值定理与导数 的应用
高等数学（XJD）
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中值定理与导数的应用的结构
Cauchy 中值定理
F(x) x
Lagrange 中值定理
n0
Taylor 中值定理
洛必达法则
1 2 型
11
1 2 2 1 1 1 2
f (a) f (b) Rolle 定理
常用的 泰勒公式
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
单增
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6. 判定极值的充分条件
取极值必要条件 若 f ( x)在 x0可导有极值 , 则 x0为 f ( x)的驻点
极值可疑点： 驻点（即使 f ( x0 ) 0 的点）、不可微点
极值第一充分条件 设连续函数y f ( x)在x0的去心邻域可导，那么
(1)
如
果
在x
的
0
左
邻
域f
(
x)
0， 右 邻
域f
(
x)
0， 则f
(
x
)在x
取
0
极
小
值
(2) 如果在x0的左邻域f ( x) 0，右邻域f ( x) 0，则的
左
、
右
邻
域f
(
x
)不
变
号
，
则f
(
x
)在x
不
0
取
极
值
极值第二充分条件
设 函 数y
f
(
x
)在
驻
点x
的
0
邻
域
二
阶
可
导
，
那
么
(1) 如 果f ( x0 ) 0， 则f ( x)在x0取 极 小 值
大(小)值一定存在, 则该最值可疑点必是所求最大(小)值点
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8. 典型例题
例1 验证罗尔定理对 y ln sin x 在 [ , 5] 上
66
的正确性.
解
D : 2k x 2k , (k 0,1, )
且在
[
,
5 ]
上连续.
66
又
y cot x 在 ( , 5 ) 内处处存在
.
x0 5 1 5 x (1 x)
解 分子关于 x 的次数为 2.
1
5 1 5 x (1 5 x)5
1 1 (5x) 1 1 (1 1) (5x)2 o( x2 )
5
2! 5 5
柯西中值定理 设 f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间
(a,b)内可导且 g (x)0, 那末 (a,b) ,使 f (a) f (b) f ' ( ) （柯西中值公式） g(a) g(b) g' ( )
泰勒中值定理 设 f(x)在含 x0 的某开区间(a,b)内具有(n +1)阶
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3. 洛必达法则
（1） 0 或 不定型 0 lim f ( x) lim f ( x) l (或) x? g( x) x? g( x)
（2） 0 , , 00 ,1 , 0 不定型
0 0 11
11
1 2 2 1 1
0
1 2
1
e xp
ln1
1
00
e xp
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1. 中值定理
罗尔中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内
可导且 f(a)= f(b), 那末 (a,b) ,使 f ( )=0
拉氏中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内
可导, 那末 (a,b) ,使 f (a) f (b) f ( ) （拉氏中值公式）
导数, 则当 x (a,b) 时，在 x 与 x0 之间存在 ,使
n
f (x)
k0
f
(n)(x0 ) (x n!
x0 )n
f (n1) ( )
(n 1)!
(x
x0
)n1
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2. 常用麦克劳林公式
e x n x k o( x n )
k0 k!
n
sin x (1)k
x 2k1
5. 函数图形性质的讨论
先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1 ,x2 ,x3 ), 再按下表判断
x
f (x) f (x) f (x) 图形
(x0, x1) x1 (x1, x2) x2 (x2, x3) x3 (x3, x4)
+
-
-
+
-
+
单增
极大 单减
f ( x1)
无 极值
单减
极小 f ( x3)
ln
0
1
0
0
e xp
ln
1
0
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4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点
极值定义 如果f ( x0 )是f ( x)在x0的某邻域内的唯一最大(小)值，那么
就称f ( x0 ) 是f ( x)的极大(小)值，称x0是f ( x)的一个极大(小)值点； 极大值(点)和极小值(点)统称为极值(点)．
66
并且
f
( )
6
f
(5
6
)
ln 2
函数 y ln sin x 在 [ , 5 ] 上满足罗尔定理的条件. 由 y cot x 0,
66
在 ( , 5 ) 内显然有解 x .
66
2
取 , 则 f ( ) 0.
2
这就验证了命题的正确性.
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例2
求极限 lim
x2