《点到直线的距离公式》教学设计“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。

【知识与能力目标】1掌握点到直线距离公式及其应用。

2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。

【过程与方法目标】经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。

【教学重点】理解点到直线的距离公式，并能进行简单应用【教学难点】会用点到直线距离求两平行线间的距离电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习引入。

回顾：两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，当x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|。

巩固练习1．点(－2,3)到原点的距离为________。

【解析】 d ＝－2－02＋3－02＝13。

【答案】13。

2．三角形三顶点为A (－1,0)，B (2,1)，C (0,3)，则△ABC 的三边长分别为________。

【解析】 |AB |＝2＋12＋1－02＝10，|AC |＝0＋12＋3－02＝10， |BC |＝2－02＋1－32＝22。

【答案】10，10，22。

回顾：中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.。

巩固练习1．已知A(0,2)，B(3,0)，则AB 中点P 的坐标为________。

【解析】设P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋32＝32，y ＝2＋02＝1，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1。

【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12．已知A(－3,2)，B(7，－8)，C(x ，y)，若B 为AC 的中点，则x ＋y 的值为________。

【解析】∵B 为AC 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝x －32，－8＝2＋y2，∴x ＝17，y ＝－18，故x ＋y ＝－1。

【答案】 －1 二、探究新知。

点到直线的距离阅读教材P101～P102，完成下列问题。

1．点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2。

2．点P0(x0，y0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d ＝|kx0－y0＋b|k2＋1。

3．两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离。

4．两平行线间的距离公式：若两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C1＝0，l2：Ax ＋By ＋C2＝0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2。

巩固练习1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点(m ，n)到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12。

(×)(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离。

(×) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值。

(√)(4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝x1－x22＋y1－y22与两点的先后顺序无关。

(√)2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为_______。

【解析】 d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2＝|－5|5＝5。

【答案】53．两条平行线l1：3x ＋4y －7＝0和l2：3x ＋4y －12＝0的距离为________。

【解析】 d ＝|－7－－12|32＋42＝1【答案】 1 三、例题解析。

两点间距离公式及其应用如图2－1－12，△ABC 的顶点B(3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长。

图2－1－12【精彩点拨】 利用直线AB ，AD 的方程求交点A.利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C.然后利用两点间距离公式求AC 。

【自主解答】 设点A ，C 的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)。

∵AB ⊥CE ，kCE ＝－23，∴kAB ＝－1kEC ＝32。

∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0。

由⎩⎨⎧3x1－2y1－1＝0，2x1－3y1＋1＝0，得A(1,1)。

∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎪⎫x2＋32，y2＋42.。

而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上，∴⎩⎨⎧2x2＋3y2－16＝0，2·x2＋32－3·y2＋42＋1＝0，解得⎩⎨⎧x2＝5，y2＝2，∴C(5,2)．即|AC|＝5－12＋2－12＝17。

两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少，常与其他知识综合考查。

巩固练习1．在x －y ＋4＝0上求一点P ，使点P 到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等。

【解】 由直线x －y ＋4＝0可得y ＝x ＋4，因为点P 在此直线上，所以可设点P 的坐标为(a ，a ＋4)，已知PM ＝PN ，由两点间距离公式可得 [a －－2]2＋[a ＋4－－4]2 ＝a －42＋a ＋4－62，解得a ＝－32，从而a ＋4＝52，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52。

点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用(1)若点(2，－k)到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________。

(2)若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a＝________。

【精彩点拨】 (1)由点到直线的距离公式得出k 的方程，解方程即得k 值。

(2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a ，c 的值。

【自主解答】 (1)由4＝|5×2－12k ＋6|52＋122，解得k ＝－3或k ＝173。

(2)由于两直线平行，所以63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2， 又21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c 232＋－22，故c ＝－6或c ＝2.从而c ＋2a＝1或－1。

【答案】 (1)－3或173(2)±1巩固练习2．(1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程。

(2)已知直线l 经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)，B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程。

【解】 (1)∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋c ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|c －6|52＋－122＝3，解得c ＝45或c ＝－33.所以所求直线方程为 5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0。

(2)由已知条件可知直线l 的斜率一定存在， 又直线l 经过点P(2，－5)， ∴设直线l ：y ＋5＝k(x －2)， 即kx －y －2k －5＝0，∴A 点到直线l 的距离d1＝|k ·3＋2－2k －5|k2＋1＝|k －3|k2＋1，B 点到直线l 的距离d2＝|－k －6－2k －5|k2＋1＝|－3k －11|k2＋1。

∵d1∶d2＝1∶2， ∴|k －3||－3k －11|＝12， 即k2＋18k ＋17＝0，解得k ＝－1或k ＝－17。

∴直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0。

对称问题探究1 若点P(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P ′，那么P ′的坐标如何求解？【提示】 设出P ′的坐标，利用线段PP ′的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，和kPP ′＝BA ，列方程组求解。

探究2 已知直线l1关于直线l 对称的直线为l2，如何由l1，l 的方程求出l2的方程？【提示】 法一 先由l1，l 的方程求出交点，交点在l2上，再在l1上任取一点，求该点关于l 的对称点，对称点在l2上，由两点式即可求出l2的方程。

法二 设l2上任意一点坐标为(x ，y)，它关于l 的对称点(x ′，y ′)在l1上，利用对称性质求出⎩⎨⎧x ′＝fx ，y ，y ′＝gx ，y代入l1的方程即得l2的方程。

已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l2的方程； (3)直线l 关于点A(1,1)对称的直线方程。

【精彩点拨】 点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解。

【自主解答】 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x0，y0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l 。

∴⎩⎪⎨⎪⎧y0＋1x0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x0－22＋2×y0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝25，y0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195。

(2)法一 由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －2＝0，得l 与l1的交点A(2,0)，在l1上任取一点B(0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＋2x0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x02＋2×y0－22－2＝0，。

即⎩⎨⎧2x0－y0－2＝0，x0＋2y0－8＝0，。

∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝125，y0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l2的斜率为kAB ′＝145125－2＝7。

∴l2的方程为：y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0。

法二 直线l1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x ，y)关于l 的对称点P1′(x ′，y ′)一定在直线l1上，反之也成立。

由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85，把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理， 得7x －y －14＝0，即直线l2的方程为7x －y －14＝0.。