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九年级数学上册二次函数知识点总结及练习

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2yaxbxc (a b c ,,是常数,0a )的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2yaxbx c 的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.⑵a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式2ya xhk 的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

三、二次函数图象的平移1.平移步骤:方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式2y a x h k ,确定其顶点坐标h k ,;⑵保持抛物线2yax 的形状不变,将其顶点平移到h k ,处,具体平移方法如下:向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k |个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a (x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 向上h k ,X=hxh 时,y 随x 的增大而增大;x h 时,y 随x 的增大而减小;xh 时,y 有最小值k .a 向下h k,X=hxh 时,y 随x 的增大而减小;x h 时,y 随x 的增大而增大;xh 时,y 有最大值k .方法二:⑴c bx ax y2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y 2变成m cbx axy2(或m c bx axy2)⑵c bx ax y 2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx axy 2变成cm x b m xa y )()(2(或c m x b m xa y )()(2)四、二次函数2y a x hk 与2y axbx c 的比较从解析式上看,2y a x hk 与2yaxbxc 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac bya xaa ,其中2424b ac bhk a a,.五、二次函数2y axbxc 图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2yaxbx c 化为顶点式2()y a x h k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点0c ,、以及0c ,关于对称轴对称的点2h c ,、与x 轴的交点10x ,,20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当0a时,抛物线开口向上,对称轴为2b xa,顶点坐标为2424b ac ba a ,.当2b xa时,y 随x 的增大而减小;当2b xa时,y 随x 的增大而增大;当2bxa 时,y 有最小值244ac b a.2. 当0a时,抛物线开口向下,对称轴为2b xa,顶点坐标为2424b ac ba a ,.当2b xa时,y 随x 的增大而增大;当2b xa时,y 随x 的增大而减小;当2bxa 时,y 有最大值244ac b a.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y axbx c (a ,b ,c 为常数,0a );2. 顶点式:2()y a x h k (a ,h ,k 为常数,0a );3. 交点式:12()()ya xx x x (0a,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240bac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbx c 中,a 作为二次项系数,显然0a.a 决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.ab 的符号的判定:对称轴ab x2在y轴左边则0ab ,在y 轴的右侧则0ab,概括的说就是“左同右异”3.常数项cc 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20axbx c是二次函数2y axbxc 当函数值0y 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数:①当240bac时,图象与x 轴交于两点1200A x B x ,,,12()x x ,其中的12x x ,是一元二次方程200axbx c a 的两根.这两点间的距离2214bac AB x x a. ②当0时,图象与x 轴只有一个交点;③当0时,图象与x 轴没有交点.1'当0a 时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y ;2'当0a 时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y .2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc 中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:已知以x 为自变量的二次函数2)2(22m mxm y 的图像经过原点,则m 的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:如图,如果函数b kx y的图像在第一、二、三象限内,那么函数12bx kxy 的图像大致是()y y y y 1 10 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为35x,求这条抛物线的解析式。

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:已知抛物线2yaxbx c (a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是-32(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。

由抛物线的位置确定系数的符号例1。

(1)二次函数2y axbxc 的图像如图1,则点),(ac b M 在()A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(2)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是()A .1个 B.2个 C .3个 D.4个(1) (2) 例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2,O)、(x 1,0),且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在点(O ,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O ;③4a+c<O ;④2a-b+1>O ,其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D .4个例3.已知:关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( ) A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)例4、已知抛物线y=12x 2+x-52.(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,求线段AB 的长.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y xx 的顶点坐标是( )A.(2,-11)B.(-2,7) C.(2,11) D.(2,-3)2. 把抛物线22yx 向上平移1个单位,得到的抛物线是()A. 22(1)y x B.22(1)yx C. 221y x D. 221yx 3.函数2ykxk 和(0)k ykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y axbx c a的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x和3x时,函数值相等;③40a b ④当2y 时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个 D. 4个5.已知二次函数2(0)y axbx c a的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3x x 和()A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y axbx c 的图象如图所示,则点(,)ac bc 在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.方程222xxx的正根的个数为()A.0个B.1个C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x xB. 22yxx C.22yxx 或22yxx D.22yx x 或22y xx 二、填空题9.二次函数23y xbx 的对称轴是2x,则b_______。

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