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模型理论
经典马柯维茨均值-方差模型为：
min
2 p
X
T X
max E(rp ) X T R
n
s.t.
xi 1
i 1
其中， R (R1, R2,..., Rn )T ； Ri E(ri ) 是第 i 种资产的预期收益率；
X (x1, x2,..., xn )T 是投资组合的权重向量； (ij )nn 是 n 种资产间的协
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5
均值-方差组合选择的实现方法：
•
收益——证券组合的期望报酬
•
风险——证券组合的方差
•
风险和收益的权衡——求解二次规划
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6
首先，投资组合的两个相关特征： • 它的期望回报率（均值）; • 可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度 量，其中方差作为一种度量在分析上是最易于处 理的. 其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资
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函数语法：
[PortRisk, PortReturn] = portstats(ExpReturn, ExpCovariance, PortWts)
输入参数：
ExpReturn：资产预期收益率
ExpCovariance：资产的协方差矩阵
PortWts：资产权重
输出参数：
PortRisk：资产组合风险（标准差）
i 1
其中， R (R1, R2,..., Rn )T ； Ri E(ri ) 是第 i 种资产的预期收益率；
X (x1, x2,..., xn )T 是投资组合的权重向量；(ij )nn 是 n 种资产间的
协方差矩阵；
Rp
E (rp
)
和
2 p
分别是投资组合的期望回报率和回报
率的方差。
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✓ 期望收益率的衡量：以均值来衡量，是指在未来不 确定情况下对投资收益率所有可能的取值的加权平均 。其权数为相应的概率值。
✓ 风险的衡量：以方差来衡量，是未来收益率的所有 可能取值对期望收益率的偏离的加权平均。权数仍然 为相应的概率值。
✓ 标准差：也反映未来收益率的所有可能取值对期望 收益率的偏离程度。
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2
马柯维茨模型以预期收益率期望度量 收益；以收益率方差度量风险。通常以资 产的历史收益率的均值作为未来期望收益 率，可能会造成“追涨的效果”，在实际 中这些收益率可能是由研究员给出；在计 算组合风险值时协方差对结果影响较大， 通常以资产的历史收益率的协方差度量资 产风险与相关性，这种计算方法存在预期 误差，即未来实际协方差矩阵与历史协方 差矩阵间的存在偏差。

min p
X TX
min p
max E(rp
XT )
X XTR
n
s.t.
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3
均值-方差分析的含义 一个随机变量的概率分布可以用一些数值特征—矩
来描述： 一阶原点矩——均值（数学期望） 二阶中心矩——方差
均值和方差是同一随机变量在同一时期运动轨迹的 不同统计值，分别用于对金融活动收益与风险的衡量
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4
均值-方差分析的含义是：投资者的效用函数由资产 的收益和风险决定，用简化的数学方式表示即投资者的 效用函数仅包括均值和方差两个自变量。
• 注释： ones(n,m)为生产元素都为1的n×m矩阵, ones(1,3)=[1,1,1]. Por精tW选课ts件=1/3*[1,1,1]=[1/3, 1/3, 1/3] 13
• 2.有效前沿计算函数
马柯维茨均值-方差模型为经典的带约束 的二次优化问题，在给定期望收益时，方 差最小解唯一(可行解域为凸)，frontcon使 用，matlab优化工具箱的fmincon函数进 行求解 frontcon函数算法：
Matlab在马柯维茨均值-方差 模型的简单应用
陈思仰 20100512003
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1
Markowitz(1952)发展了一 个在不确定条件下严格陈述的 可操作的资产组合选择理论： 均值-方差方法 Mean-Variance methodology.
马科维茨(H. Markowitz, 1927～) 《证券组合选择理论》
[5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ]; PortWts=1/3*ones(1,3); [PortRisk, PortReturn] = portstats(ExpReturn, ExpCovariance,PortWts) >>PortRisk = 0.016617 PortReturn = 3.5033e-004
组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最 大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水 平上使风险最小化的投资组合.
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7
再次，通过对某种资产的期望回报率、回 报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率 的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适 当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行 的。
最后，通过求解二次规划，可以算出有效 投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投 资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的 有效性——即对给定的风险使期望回报率最大 化，或对于给定的期望回报使风险最小化。
方差矩阵；Rp
E(rp )
和
2 p
分别是投资组合的期望回报率和回报率的方
差。
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• 以华北制药、中国石化、上海机场三只股 票，如何构使用马柯维茨模型构建投资组 合模型？
• 资产数据如下表
华北制药 中国石化 上海机场
表 1 三只股票的日回报率、风险数据及协方差矩阵
收益率均值(%)
收益率标准差(%)
协方差矩阵（×0.0001）
0.0540
2.30
5.27 2.80 1.74
0.0275
2.06
2.80 4.26 1.67
0.0236
1.70
1.74 1.67 2.90
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模型理论
经典马柯维茨均值-方差模型为：
min
2 p
X
T X
max E(rp ) X T R
n
s.t.
xi 1
PortReturn：资产组合预期收益（期望）
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假设等权重配置华北制药、中国石化、上海 机场，则资产组合的风险与收益为多少？ M文件：Portstatstest.m
ExpReturn = [0.000540 0.000275 0.000236]; ExpCovariance = 0.0001*