2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f-=_________.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D. M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6 三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积.19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>；21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2n n b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时， 有n m m ka a a a n m m k--≥--； （3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a nn++≤-+.2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________. 【解析】{}()()12,13,A x x =->=-∞-+∞，所以[]1,3U C A =-.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f -=_________.【解析】令2()(4)45(5)f x x x =-+=≥，解得5x =，所以1(5)5f-=.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.【解析】()214732lim n n n →∞++++-=2(132)32lim 2n x n n →∞+-=. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 【解析】由等差数列的性质，得()5191122a a a =+=-.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意得22m ≥，所以1m ≥.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.【解析】令2,2a θb θ==，则[]222sin 2,24a b ⎛⎫+==+∈- ⎪⎝⎭πθθθ.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，得2sin 2sin cos 0x x x -=，即sin (1cos )0x x -=， 故当[)0,x ∈+∞时，零点分别为0,,2,3,πππ，所以23πa π≤<.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.【解析】由lg()lg lg y x y x -=-得00y x x y y x x ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪-=⎩，所以2(1)x y x -=，显然1x ≠，所以201x y x =>-，故1x >， 所以22[(1)1]1124111x x y x x x x -+===-++≥---，当且仅当2x =时取等号， 故以x 为自变量的函数y 的最小值是4.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________.【解析】作出(),()f x g x 的图像，如图所示，则()x f x a b =-过点(1,0)-，所以10a b --=，即1ab =，因为0a >，所以0b >，所以1444b a b b+=+≥，当且仅当1,22a b ==时取等号，故14a b+的最小值为4. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______. 【解析】因为()f x 恰有4个零点，所以160,1,2,36k ππωx k πx k ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=⇒=⇒=，所以1134662πx πωω⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<，即19251212ω≤<，①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确；②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤，又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262πf x A ωx ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈，所以6πωx -可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确， 综上，真命题的序号是①②③.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.【解析】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[2,],1,sin 22a a a a ππM M a ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， ⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[,3],1,12a a a a ππM M ∈==由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，所以1,0,2cos 4sin ,,421,,sin 215,,sin 2451,,4πa a ππa a πk a πaπa πaπa ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪∈+∞⎢⎥⎪⎣⎦⎩，作出图像，得实数k 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =⋅，则a的值为_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M M =，得sin 2a a =，所以cos 4a =，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得sin a =③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M M =，得1a =，所以sin 2a =，34πa =； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得12a =，所以sin 2a =98πa =；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[][]0,,2a a a M M =，得无解，综上，34πa =或98πa =.【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为 .【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2sin 2a a ≥，所以1cos 4a ≤，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2a ≥，无解；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin a ≥，所以1sin 2a ≤，5,6πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin 2a ≥，所以1sin 22a ≤，13,12πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[0,][,2]2a a a M M ≥，得无解，综上，513,612ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故a 的最大值为1312π. 二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ D ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D.M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.法一：假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项，对于,,b c d 来说， 因为,b d d c d d +>+>，所以b d +和c d +都不是{}n a 中的项， 又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以b c +是{}n a 中的项，且b c c +>，所以b c d +=，对于,,a c d 来说，因为,a d d c d d +>+>，所以a d +和c d +都不是{}n a中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以a c +是{}n a 中的项，且a c c +>，所以a c d +=， 所以a d =，矛盾，所以{}n a 中大于0的最多有3项，同理，{}n a 中小于0的最多有3项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.法二：假设存在三项1,,m N N a a a -为正，则1,N N m N a a a a -++都不是{}n a 中的项， 所以1m N a a -+是{}n a 中的项，且11m N N a a a --+>， 所以1m N N a a a -=-，所以数列{}n a 中最多有3个正项，同理数列{}n a 中最多有3个负项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.【解析】（1）连接111,AD B D ，则11AD BC ∥， 所以11B AD ∠即为所求角，或其补角，1AB ==，13AD ==，11B D ==在11B AD ∆中，由余弦定理得22211111111cos 22AB AD B D B AD AB AD +-∠==，所以114πB AD ∠=，即异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为4π； （2）1111322ABD S AB AD ∆=⨯==，11222ABC S AB BC ∆=⨯==，1DD =， 设点C 到平面1ABD 的距离为h ，由等体积法，得11C ABD D ABC V V --=，即111133ABD ABC S S h DD ∆∆⨯=⨯，所以h =所以点C 到平面1ABD 18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.B 1D 1A 1D C 1CBA（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积. 【解析】（1）由已知及正弦定理得sin (cos 2cos )(2sin sin )cos C B A A B C -=-，得sin()2sin()B C A C +=+，因为A B C π++=，所以sin 2sin A B =，由正弦定理得2ab=； （2）因为3cos ,2,24aC c b===，由余弦定理得222324a b c ab +-=，即222(2)4344b b b +-=，解得b =，所以2a b ==sin C ==所以11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=.20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（3）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.【解析】（1）当4x >时，23p =，所以123015033y x x =⋅⋅-⋅⋅=， 当04x <≤时，16p x=-， 所以21115(921301566)6x x y x x x x x -⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅= ⎪---⎝⎭， 所以()21592,04(6)0,4x x x y x x ⎧-⎪<≤=⎨-⎪>⎩；（2）当04x <≤时，22)15(96x x y x-=-，令[)62,6t x =-∈，则()215962(6)1815(152)t t y t tt⎡⎤---⎣⎦==--，所以15(1545y ≤-=万元， 当且仅当182t t=，即3,3t x ==时取等号，所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>； 【解析】（1）由题意得22921,2c a b-==，又222c a b =+，解得223,1a b ==， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=； （2）法一：设()()1122,,,,(0,)A x y B x y P t ，由PA mAF =得11211m x mt y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又点A 在双曲线上，所以2221131m t m m ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得226330m m t ---=， 同理，由PB nBF =，得226330n n t ---=，因为,A B 两点不重合，所以m n ≠，所以,m n 是方程226330x x t ---=的两根，所以6m n +=，为定值；法二：设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线:(2)l y k x =-，所以(0,2)P k -，由2213(2)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)121230k x k x k --++=，所以2212122212123,3131k k x x x x k k ++==--，由PA mAF =，PB nBF =得1122(2),(2)x m x x n x =-=-，所以1212211212(2)(2)22(2)(2)x x x x x x m n x x x x -+-+=+=---- 22121222212122()2242(123)6642()4(31)241231x x x x k x x x x k k k +--+-====-++--++-， 所以6m n +=，为定值；（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Q k ，1212122QAB QPB QPA S S S PQ x x k x x ∆∆∆=-=⨯-=-， 所以()()222221212124()44QABS k x x k x x x x ∆⎡⎤=-=+-⎣⎦()22242222222212123144(4812)(31)444313131k k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+-+-=⎢-⎥= ⎪--⎢⎥⎝⎭-⎣⎦()()222222221212(1)4483131k k k kkk++==--，因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++==--＞＞， 所以2310t k =-＞， 所以()()2222222111(1)48(1)(4)334848931QABt t k k t t S t t k ∆++⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===-22224854484519215139998t t t t t t ++⎛⎫⎛⎫==++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0t ＞，所以10t＞，所以()222192151925163398983QABS t ∆⎛⎫⎛⎫=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， 所以232.31310QAB S ∆>≈>，证毕. 21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2nn b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，有n m m ka a a a n m m k--≥--；（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a n n++≤-+. 【解析】（1）因为222212(2)(2)2(1)2(1)n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+20=-＜，所以数列2n a n n =-+不为“凸数列”，因为+21233339221322224nn n nn n n b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13042n⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以数列3()2n n b =为“凸数列”；（2）由题意得112(2,3,)k k k a a a k -++≥=，所以11k k k k a a a a +--≥-，而()()()()11211()n m n n n n m m m m a a a a a a a a n m a a ---++-=-++++-≥--，所以1mm m n a a a a n m+-≥--，又()()()()11211()k m k m m m m k m m a a a a a a a a m k a a ---+--=-++++-≤--，所以1m km m a a a a m k --≤--，故n m m k a a a a n m m k--≥--，证毕；（3）①当1i =时，111(1)i n ii a a a nn ++≤-+即21111(1)n a a a n n+≤-+， 由（2）得()1221(1)n a a n a a +-≥--，所以211(1)n na n a a +≤-+，故21111(1)n a a a n n+≤-+，成立； ②当i n =时，111(1)i n i ia a a nn++≤-+即11n n a a ++≤，显然成立， ③当1i n ＜＜时，由（2）得1111n i i a a a a n i i+++--≥-，所以1111()()n i i ia ia n i a n i a +++-≥---，所以111()i n na ia n i a ++≤+-，故111(1)i n i ia a a n n++≤-+成立， 综上所述，对1i n ≤≤，有111(1)i n i ia a a n n++≤-+.。