郑州大学毕业论文题目：幻方的性质与应用学生姓名：学号：专业：信息与计算科学专业院（系）：完成时间2010年5月20日目录幻方的性质与应用 (1)摘要 (1)引言 (2)1幻方及其基本性质 (2)2幻方的构造 (4)3幻方的应用 (8)综述 (9)结束语及致谢 (10)参考文献 (10)幻方的性质与应用【摘要】首先，我们简单的介绍一般幻方的定义以及一些特殊的幻方，然后随着我们对幻方的研究我们又着重介绍了幻方的一些构造，，最后我们浅谈一下有关幻方的应用前景，比方说在美术设计方面的应用，在智力开发方面的应用，在科学技术方面的应用等等。
【abstract】 First, we simply introduce the general definition of magic squares as well as some special magic square，Then as we study magic squares we have highlighted some of the magic square construction，For example, from low-order magic square Magic Squares, Magic Squares of odd order, even order magic square construction and general construction of magic square.， Finally, we look at the Magic Square of prospects，For example, in the art design application, the application of intellectual development in science and technology-based applications。
【关键字】幻方的定义幻方的构造幻方的应用【keyword】 The definition of magic squares Magic Square Application of Magic Squares1幻方及其基本性质1.1幻方的定义1.2几种常见的幻方2幻方的构造2.1由低阶幻方构造高阶幻方的方法2.2奇数阶幻方的构造2.3偶数阶幻方的构造2.4一般幻方的构造3幻方的应用前景3.1幻方应用于美术设计3.2幻方应用于智力的开发功能3.3幻方应用于科学技术之中引言所谓幻方也叫纵横图，就是在n n的方阵中放入从1开始到2n个自然数，在一定的布局下各行，各列和两条对角线上的数字之和正好相等，这个和数就叫幻方常数或幻和。
由于幻方具有这种特殊的性质，几千年来吸引着数学家和数学爱好者的兴趣，并进行了广泛深入的研究，在本论文中我们主要探讨幻方的基本性质及其构造它的一般方法，最后我们在浅谈一下有关它的一些应用前景。
1幻方及其基本性质1.1幻方的定义幻方是一系列的数排列成一个方阵，使它的每行和，每列和以及每条对角线和均为一个定数，我们把这个定数记作S ，称为幻方和。
通常的幻方是人们熟知的由整数1,2,3…..2n 排成一个n n 阶幻方，幻方中所有整数和为22112n n ，其中的幻方的幻和S=22112n n ，当n=时我们称此幻方是平凡的，当n=2时，可以证明该种幻方是不存在的，当n=3时这样的幻方（在同构的意义下）仅有一个，n=4时，有880个，n=5时，至少有60000个幻方，对于n 5时幻方的计数问题还没解决，我们列举了n=3,4,5时的几个幻方，如下图861357942 15114467912810511133162 17815241235716146132042210193122118259112 n=3 n= 4 n=5 图1-11.2 几种常见的幻方1.2.1 完全幻方：对于奇数阶幻方，假若关于其中心位置的任意对称位置上的两个数之和是一个定数，并且这个定数是中心位置上的数的两倍，则称此幻方是一个完全幻方。
例如图1-2给出的5阶幻方是一个完全幻方，其中心位置是13，关于中心位置任意对称的两个位置上的和为26。
17102311451862412725131912082114231691522 图1-21.2.2 广义幻方:上面我们给出的通常的幻方和完全幻方，其中阵中的2n 个数都是取自1,2,3….2n ，下面我们给出一些普通的幻方，其2n 个数不完全取自集合{1,2,3….2n }，容易验证他们也满足幻方的基本性质，如图1-318132616119204171382916114183712619411 3681794268317942r r r r r r r r （r 18）图1-3若幻方中的2n个数均为不同的素数，则称其为一个广义幻方，例如图1-4中的两个幻方都是广义幻方。
1731739767 307157107227 127227257137 347473736756959449239359479269659149图1-41,2.3 殆幻方与同心幻方：如果一个幻方是由r+1，r+2，….r+ 2n构成的幻方，则称该幻方为殆幻方，容易见这种这种幻方中的每个数减去r 即可得通常的幻方。
我们也可从通常的幻方中删掉第一行与第n行，删掉第一列和第n列获得殆幻方，如图1-5中的5阶幻方，删掉第一列与第五列，第一行与第五行，中间剩下的由9,10，…..17构成的3阶殆幻方56237241710 22124 18131581116925 114 1920322146340 124241 4535133231514342826166 4421 7172325273343 20293039 112422193736181538 1210494847894图1-5 图1-6反之，若将殆幻方作为核，我们可以构造出一系列奇数阶幻方，例如图1-6中的7阶幻方，其核为21,22，.....29构成的3阶幻方（r=20）次核是由13,14，.. (37)构成的5阶殆幻方（r=12）以3阶殆幻方为核可构造出一系列奇数阶幻方，他们具有一个共同的性质是每一个内核幻方都是一个殆幻方，类似的以一个4阶殆幻方为核我们可构造出一系列偶数阶幻方，使其每个内核幻方也是一个殆幻方，例如1-7中的8阶幻方，它的核是由15,16，….50组成的6阶殆幻方（r=14），内核幻方都是殆幻方的幻方称为同心幻方。
6362559588145615494819209445547253938281810363031334354 11220 5332343529234212 133727264052 2441451617465051 1421 57361606764 22568 264164 321281图1-7 图1-81.2.4 乘积幻方：所谓乘积幻方就是指每一行上的数的乘积，每一列上的乘积，以及每条对角线上的乘积均相等，如图1-8中幻方就是乘积幻方。
2 幻方的构造2.1 由低阶幻方构造高阶幻方的方法已知n 阶幻方n Q 和m 阶幻方m Q 可构造成一个m n 阶的幻方mn Q ，设111212122212.....................m mmm m mma a a a a a Q a a a这里21,2,3....ija m ，i ，j=1,2,3…m 构造出的mn Q 为22211121222212222221211...111...1............11...1n n n n m n n n nn nm n nmnm n n m n n mm n nn a J Q n a J Q n a J Q n a J Q n a J Q n a J Q Q n a J Q n a J Q n a J Q其中n J 是n n 方阵，n J 中的每个元素是1，mn Q 是一个幻方，其行，列和于对角线和均是22112mn m n ，例如令3Q 为1-1中的3阶幻方，构造9阶幻方。
3333339333333333333981911961931951971941991921J Q J Q J Q Q J Q J Q J Q J Q J Q J Q =7164698653465116668703574850526772659495447422619376255602444422325394357596121412720404538586356223528338073781710153032347577791612143136297681741318112.2 奇数阶幻方的构造在介绍通常的奇数阶幻方的一般方法之前，先看一个5阶幻方的例子，见图2-1，并观察其构造规律18259211178151724123571623146132042241019310122118259112若用（i ，j ）表示方阵中第i 行，第j 列的位置，如图，数1,2,3,4,5的安排规律是：若t 在位置（r ，s ）上则数t+1在位置（r-1，s+1）(mod5)例如1放在（1,3）上后由于（1-1,3+1）=（5,4），所以2在位置（5,4）上，同理可得3,4,5的位置分别是（4,5），（3,1），（2,2）接下来若仍然用上面的方法利用5的位置来确定6的位置，那么将会出现6与1的位置 重叠，5与6之间的这种情况称为断步，我们将6放在（3,2）上（3,2）是这样确定的 ，如果5的位置是（r ，s ），则6的位置是（r+1，s ）（mod5），7,8，….10的安排规律与2至5的安排规律相同，10与11之间又出现断步，由于10在（4,1）上，故11在（4+1,1）（mod5）=（5,1）位置上……..按照此方法一直做下去直到把1到25全部填入这个55阵列中为止，将上述规律归纳如下： 1 一般情况：,r st 1,1(mod5)1r s t ；2断步情况：,r st 1,(mod5)1rs t这里,r s t 表示t 在（r ，s ）位置上，t {1,2，…..2n },图2-2是应用上面介绍的方法构造的一个7阶幻方，其中顶行上面用虚线标出的哪一行可看做第七行，第七列右面用虚线标出的哪一行视为第一行，图中箭头表示断步是位置变化方向及以后的变化趋势。
31404920211223039481019283013847791827293846681726353746516253436455141315331324424442332433214112213140492022211在上面的构造中我们总是将数1放在顶行正中位置，事实上也可将1放在其它位置上，例如将1放在位置（4,5）上，则相应的安排规律是： 1 一般情况：,r st 1,1(mod 7)1rs t2 断步情况：,r st ,2(mod 7)1r st由上面的所举的例子中我们可以看出构造一个幻方有三个因素： 1 确定1的位置2 非断步情况的位置变化规律3 断步情况的位置变化规律2．3 偶数阶幻方的构造构造偶数阶幻方的方法有很多种，下面我们将介绍其中的一种，我们以6阶幻方为例，介绍其构造方法。