一、计算题(解答写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案的不能得分。

有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。

本题包含55小题，每题？分，共？分)1．如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是M 的小车A 和B ，两车间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度向右运动，另有一质量为0M 的粘性物体，从高处自由下落，正好落至A 车并与之粘合在一起，在此后的过程中，弹簧获得最大弹性势能为E ，试求A 、B 车开始匀速运动的初速度0v 的大小．解析：物体0M 落到车A 上并与之共同前进，设其共同速度为1v ，在水平方向动量守恒，有100)(v M M M v +=所以 001v M M Mv +=物体0M与A 、B 车共同压缩弹簧，最后以共同速度前进，设共同速度为2v ，根据动量守恒有200)2(2v M M Mv +=所以0222v M M Mv +=当弹簧被压缩至最大而获得弹性势能为E ，根据能量守恒定律有：()()202102202121221Mv v M M v M M E ++=++解得 ()()0020022M M M M MM Ev ++=．2．如图所示，质量为M 的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一个质量为m 的木块，车的右端固定一个轻质弹簧．现给木块一个水平向右的瞬时冲量I ，木块便沿小车向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．试求：(1)木块返回到小车左端时小车的动能． (2)弹簧获得的最大弹性势能．解：(1)选小车和木块为研究对象．由于m 受到冲量I 之后系统水平方向不受外力作用，系统动量守恒．则v mM I)(+=小车的动能为222)(221m M MI Mv E K +==. (2)当弹簧具有最大弹性势能时，小车和木块具有共同的速度，即为v ．在此过程中，由能量守恒得22))((21)(21m M Im M W E m I m f P ++++= 当木块返回到小车最左端时，由能量守恒得22))((212)(21m M Im M W m I m f +++= 联立得)(42m M m MI E P +=3．如图所示，一平板小车静止在光滑的水平面上，质量均为m 的物体A 、B 分别以2v 和v的初速度、沿同一直线同时从小车两端相向水平滑上小车．设两物体与小车间的动摩擦因数均为μ，小车质量也为m ，最终物体A 、B 都停在小车上（若A 、B 相碰，碰后一定粘在一起）．求： (1)最终小车的速度大小是多少，方向怎样？(2）要想使物体A 、B 不相碰，平板车的长度至少为多长？(3)从物体A 、B 开始滑上平板小车，到两者均相对小车静止，小车位移大小的取值范围是多少？解：(1)对整体由动量守恒定律得023+-⋅='mv v m v m ，则3vv ='，方向向右．(2)由功能关系得mgLv m mv v m μ=⋅-+222)3(32121)4(21，则g v L μ372= (3)①物体A 、B 未相碰撞,B 停止时，A 继续运动，此时小车开始运动．对小车应用动能定理得2)3(221v m mgs ⋅=μ，则g v s μ92= ②物体B 速度为零时正好与A 相撞，碰后小车开始加速，最终达到共同速度3vv =共．对小车应用动能定理得2)3(212v m s mg ⋅='⋅μ，则g v s μ362=' 所以小车位移大小的取值范围是≤≤s g v μ362g v μ924．在建筑工地上，我们常常看到工人用重锤将柱桩打入地下的情景．对此，我们可以建立这样一个力学模型：重锤质量为m ，从高H 处自由下落，柱桩质量为M ，重锤打击柱桩的时间极短且不反弹．不计空气阻力，桩与地面间的平均阻力为f 。

利用这一模型，有一位同学求出了重锤一次打击柱桩进入地面的深度．设柱桩进人地面的深度为h ，则对垂锤开始下落到锤与柱桩一起静止这一全过程运用动能定理，得00)(-=-++fh Mgh h H mg ，得出f g m M mgHh -+=)((1)你认为该同学的解法是否正确？请说出你的理由．(2)假设每一次重锤打击柱桩时锤的速度为一定值，要使每一次重锤打击后桩更多地进入地下，为什么要求锤的质量远大于桩的质量？解：(1)不对，因为在锤与桩碰撞过程中系统动能有损失．(2)设锤每次打桩的速度都是v ，发生完全非弹性碰撞后的共同速度是v '，则m v = (M+ m)v '，非弹性碰撞后二者的动能为)(2)(21222m M v m m M E K +=+= 当m>>M 时，碰后二者的动能越趋向于221mv （初动能），即能量在碰撞过程中的损失趋向于零，故要求m>>M.根据动能定理得0212-=-mv fs W ，J fs mv W 521085.921⨯=+=。

5．如图所示，平板小车C 静止在光滑的水平面上.现在A 、B 两个小物体（可视为质点），分别从小车C 的两端同时水平地滑上小车.初速度v A =0.6 m/s,v B =0.3 m/s.A 、B 与C 间的动摩擦因数都是μ=0.1.A 、B 、C 的质量都相同.最后A 、B 恰好相遇而未碰撞.且A 、B 、C 以共同的速度运动.g 取10 m/s2.求：（1）A 、B 、C 共同运动的速度.（2）B 物体相对于地向左运动的最大位移. （3）小车的长度. 解：（1）设A 、B 、C 质量都为m ，共同运动速度为v ，以向右为正方向． 动量守恒mv A +m (－v B )=3mv代入数据得v =0.1 m/s 方向向右（2）当B 向左运动速度为零时，有向左最大位移．B向左运动加速度为a =m mgμ=μg =1 m/s 2B 对地向左最大位移s max =a v B22=4.5 cm（3）设小车长为L ，依功能关系μmgL =21mv A 2+21 mv B 2+21 ×3mv2代入数据得L =21 cm23．氢原子中质子不动，电子绕质子做匀速圆周运动的半径为r ，电子动量大小m v 与半径r 的乘积m v r 等于π2h，h 为普朗克常量．如果把电子换成μ子绕质子做匀速圆周运动，产子带电量与电子相同、质量约为电子的210倍，μ子动量大小与半径的乘积也等于π2h，求μ子的轨道半径r '．解析：电荷绕核做圆周运动，向心力由库仑力提供，有22Qq v k mr r =，又2hmvr π=， 解之得2214h r kQqm qm π=∝，所以210r r '=。

24．如图所示，在xOy 平面上，一个以原点O 为中心、半径为R 的圆形区域内存在着一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，方向垂直于xOy 平面向内．在O 处原来静止着一个具有放射性的原子核N 137（氮），某时刻该核发生衰变，放出一个正电子和一个反冲核．已知正电子从O 点射出时沿小x 轴正方向，而反冲核刚好不会离开磁场区域，正电子电荷量为e ．不计重力影响和粒子间的相互作用．(1)试写出N 137的衰变方程；(2)求正电子离开磁场区域时的位置．解：(1) N 137→136C ＋01e.(2）设正电子质量为m 1，速度为v 1，轨道半径为R 1，反冲核质量为m 2，速度为v 2 ,轨道半径为R 2．如图所示，正电子电荷量为e ，反冲核电荷量q=6e ．据动量守恒定律，有m 1v 1= m 2 v 2，正电子的轨道半径eB v m R 111=，反冲核的轨道半径eB v m R 6222=，据题意知22RR =，由以上各式得R 1=3R ，设正电子离开磁场区域的位置坐标为(x ，y)，由几何关系得,)3()3(,222222R y R x R y x =-+=+解得R y R x 61,635==25．1930年科学家发现钋放出的射线贯穿能力极强，它甚至能穿透几厘米厚的铅板，1932年，英国年轻物理学家查德威克用这种未知射线分别轰击氢原子和氮原子，结果打出一些氢核和氮核．若未知射线均与静止的氢核和氮核正碰，测出被打出的氢核最大速度为v H =3.5×107m/s ，被打出的氮核的最大速度v N =4. 7×106m/s,假定正碰时无机械能损失，设未知射线中粒子质量为m ，初速为v ，质子的质量为m '.(1)推导被打出的氢核和氮核的速度表达式；(2)根据上述数据，推算出未知射线中粒子的质量m 与质子的质量m '之比（已知氮核质量为氢核质量的14倍）．解：(1)碰撞满足动量守恒和机械能守恒，与氢核碰撞时有22121212121,HH H H v m mv mv v m mv mv +=+=解之得,2v m m m v H H +=同理可得vm m m v N N +=2． (2)由上面可得H N N H m m m m v v ++=，代入数据得0165.1=='Hm mm m26．如图所示，在某一足够大的真空室中，虚线PH 的右侧是一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧是一场强为E 、方向水平向左的匀强电场．在虚线PH 上的点O处有一质量为M 、电荷量为Q 的镭核（22688Ra)．某时刻原来静止的镭核水平向右放出一个质量为m 、电荷量为q 的α粒子而衰变为氡(Rn)核，设α粒子与氡核分离后它们之间的作用力忽略不计，涉及动量问题时，亏损的质量可不计．(1)写出镭核衰变为氡核的核反应方程；(2)经过一段时间α粒子刚好到达虚线PH 上的A 点，测得OA = L ．求此时刻氡核的速率．解：(1) 核反应方程为22688Ra 22286→Rn ＋42He.(2）设衰变后，氡核的速度为0v ,α粒子速度为αv ，由动量守恒定律得（M 一m)0v =m αv ，α粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，到达A 点需要的时间为απv Lt 2=，又2/2L v m B qv αα= 氡核在电场中做匀加速直线运动，t 时刻速度为v =0v ＋at ,氡核的加速度为m M Eq Q a --=)(，由以上各式解得qB m M mE q Q L B q v )(2)(222--+=π27．据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为mR 331=，外半径为R 2=1. 0 m ，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B=1.0 T ，被束缚粒子的荷质比为m q=4.0×107C/kg ，不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力．(1)若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v 0.(2)若中空区域中的带电粒子以（1)中的最大速度v 0沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间t.解：设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为r ，则r=Bq m v 0，如图所示，由几何关系得mR R R r r R r R 312,221222221=-=-=+ 则s m m qBr v /103470⨯==．0060,3033arctan='∠==P PO θ。