从而 A 1(0) 0, 即 = . 故A 是单射.
4. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
A 是单射 A 是满射. 证明：A 是单射
A 1(0) 0
dimA 1(0) 0 dimA (V ) n A (V ) V A 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证明：A相似于
并把它扩充为V的一组基：1, 2 , , r , , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ), ,A ( n )
生成的.
但 A ( i ) 0, i 1,2, , r.
A (V ) LA ( r1), ,A ( n )
下证A ( r1), ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
高等代数__
§6 线性变换的值域与核
一、值域与核的概念
定义1：设A 是线性空间V的一个线性变换，
集合 A (V ) A ( ) | V
称为线性变换A 的值域，也记作ImA , 或 A V .
集合 A 1(0) | V ,A ( ) 0
称为线性变换A 的核，也记作 ker A . 命题:A (V ), A 1(0)皆为V的子空间.
证明: A (V ) V ,A (V ) ,且对
A ( ),A ( ) A (V ), k P 有 A ( ) A ( ) A ( ) A (V )
kA ( ) A (k ) A (V )
即A (V )对于V的加法与数量乘法封闭. A (V )为V的子空间. 再看A 1(0). 首先，A 1(0) V ,A (0) 0,
LA (1),A (2 ), ,A ( n ) 即 A (V ) LA (1),A (2 ), ,A (n )
又对 x1A (1 ) x2A ( 2 ) xnA ( n ) 有 x1A (1 ) x2A ( 2 ) xnA ( n )
A ( x11 x2 2 ... xn n ) A (V )
因此有 A (V ) A 1(0) 0
从而A (V ) A 1(0)是直和 . 又 dimA (V ) dimA 1(0) n 所以有 V A (V ) A 1(0).
在 A (V )中取一组基 ：1,2 ,r 在A 1(0)中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
1, 2 , , n 是V的一组基，A 在这组基下的矩阵是A，
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ), ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
证：1） V , 设 x11 x2 2 xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) xnA ( n )
LA (1),A (2 ), ,A (n ) A (V ). 因此，A (V ) LA (1),A (2 ), ,A (n ).
2）由1），A 的秩等于基象组A (1),A ( 2 ), ,A ( n )
的秩，又
A (1),A ( 2 ), ,A ( n ) (1, 2, , n, ) A.
线性无关.
设
kr
A
1
( r1 )
knA ( n ) 0
则有 A kr1 r1 kn n 0
kr1 r1 kn n A 1(0) 即 可被 1, 2 , , r 线性表出.
设 k11 k2 2 kr r 于是有 k11 k 1, 2 , , n V的基.
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ), ,A ( n ) 的秩
等于矩阵A的秩. ∴ 秩(A )＝秩 ( A).
2. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
A 的秩＋A 的零度＝n 即 dimA (V ) dimA 1(0) n.
证明：设A 的零度等于r ，在核A 1(0)中取一组基 1,2, ,r
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
3. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
ⅰ) A 是满射 A (V ) V
ⅱ) A 是单射 A 1(0) 0
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为A 0 0, 若A 为单射，则 A 1(0) 0. 反之 ，若 A 1(0) 0, 任取 、 V , 若
A ( ) A ( ), 则 A ( ) A ( ) A ( ) 0,
一个对角矩阵 1
1
0
0
证：设A是n维线性空间V的一个线性变换A 在一
组基1, 2 , , n下的矩阵，即
A 1,2, ,n, (1,2, , n, )A
由 A2 A, 知 A 2 A .
任取 A (V ), 设 A ( ), V , 则A ( ) A (A ( )) A 2( ) A ( ) 故有 A (V ), A ( ) 0当且仅当 0.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
k1 k2 kn 0
故A ( r1), ,A ( n )线 性无关，即它为A (V )的一组基.
A 的秩＝n－r . 因此，A 的秩＋ A 的零度＝n.
注意：
虽然A (V )与A 1(0)的维数之和等于n ，但是 A (V ) A 1(0) 未必等于V.
如在例1中,
D P[ x]n D 1 0 P[ x]n1 P[ x]n