b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32
y
13
例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4 Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
Iy、Iz为形心主惯性矩
bb/2/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
8
例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
z
y
dy
zz y
Iy
Iz
64
d4
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz （作业题）
9
四、惯性半径的定义
√iy =
Iy
A
√iz =
Iz
A
故 Iy = A iy 2 Iz = A iz 2
i=1
n
Sz = ∑Ai yci
i=1
形心位置：
n
yc
Sz =
∑Ai yci
= i=1
A
n
∑Ai
i=1
n
Sy
∑Ai zci
zc =
= i=1
A
n
∑Ai
i=1
4
15.5
例2 求图示截面的形心的位置。
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
zC 0
5
§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
Iy=
∫
z2dA
A
Iz=
∫
y2dA
A
惯性矩恒为正
二、惯性积的定义 Iyz= ∫ yzdA
A
惯性积可正、可负或为零
若y为对称轴，则 Iyz= 0
o
z
y z dA
y
y dA dA z zz y
6
三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。
yC1 255mm yC2 140mm
c
50
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
z
50
C3
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
120mm
z
y
C
dA
a z
yc c
bz zc y yc
Iy= ∫ b2dA
A
Iyz= ∫ abdA
A
+ IyC
+ IyCzC
11
二、组合截面惯性矩的计算式
Iy=
∫
z2dA
A
=∫ z2dA
A1
n
= ∑ Iyi
i=1
同理
n
Iz = ∑ Izi
i=1
+… +∫ z2dA
An
n
Iyz = ∑ Iyzi
i=1
12
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下图形对z轴的惯性矩。
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy= ∫ zdA
A
Sz= ∫ ydA
A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z dA
y
1
二、截面形心的位置
∫ ydA
yc = A A
Sz =
A
∫ zdA
zc = A A
Sy =
A
故
Sz = A yc
Sy = A zc
z
oz
z
yc
yc
注意平方问题
第十六次课结束处
10
§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
Iz=
∫
y2dA
A
= ∫ (Aa+yC)2dA
= ∫ a2dA
A
+ 2a ∫ yCdA
A
+∫ yC2dA
A
∫ yCdA
A
对形心轴的面积矩=0
∫ yC2dA
A
对形心轴的惯性矩
故
Iz= ∫ a2dA
A
+ IzC
同理
O
yC
14
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
C
dA
y
形心轴：过平面图形形心的轴截 Nhomakorabea对形心轴的面积矩为零。
2
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：
ah
Sz
ydA
A
a
ybdy
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
三、组合截面的面积矩和形心位置的确定
面积矩：
n
Sy = ∑Ai zci
主惯性矩：
截面对主轴的惯性矩。
b/2 b/2
形心主轴：
过截面形心的主轴。
h/2
z'
形心主惯性矩：
截面对形心主轴的惯性矩。
z
h/2
y
7
例3 计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
解：
Iz y2dA
A
h/2 y2 bdy h / 2
bh3 12
同样地
hb3 I y 12
I yz 0
y、z为形心主轴