《第21章一元二次方程》一、精心选一选:1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3(x+1)2=2(x+1) D． +﹣2=02．用配方法解方程:x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是( )A．(x﹣2)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x﹣2)2=﹣2 D．(x﹣2)2=63．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是( )A．36(1﹣x)2=36﹣25 B．36(1﹣2x)=25 C．36(1﹣x)2=25 D．36(1﹣x2)=254．若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是( )A．2 B．1 C．﹣1 D．05．若b(b≠0)是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足( )A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠57．已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是( ) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为( )A．2 B．0 C．﹣1 D．无法确定9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为2020的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程( )A．x(13﹣x)=2020．C．D．10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m ﹣1)x+m2+3=0的根，则m的值为( )A ．﹣3B ．5C ．5或﹣3D ．﹣5或3二、细心填一填:11．一元二次方程3x(x ﹣2)=﹣4的一般形式是______，该方程根的情况是______．12．方程2﹣x 2=0的解是______．13．配方x 2﹣8x+______=(x ﹣______)2．14．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2020=0的两个不相等的实数根，则a 2+2a+b 的值为______．15．若一个三角形的三边长均满足方程x 2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为______．16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm ，下肢长为92cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm ．(精确到0.1cm)三、耐心答一答:17．用指定的方法解方程(1)(x+2)2﹣25=0(直接开平方法)(2)x 2+4x ﹣5=0(配方法)(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)(4)2x 2﹣7x+3=0(公式法)18．当x 取什么值时，代数式x(x ﹣1)与(x ﹣2)+1的值相等？19．已知关于x 的一元二次方程5x 2+kx ﹣10=0一个根是﹣5，求k 的值及方程的另一个根．2020高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t ﹣t 2．(1)经过多少秒钟，球飞出的高度为10m ；(2)经过多少秒钟，球又落到地面．21．阅读下面的例题:解方程:x 2﹣|x|﹣2=0解:(1)当x ≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得:x 1=2，x 2=﹣1(不合题意，舍去)．(2)当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得:x 1=1(不合题意，舍去)，x 2=﹣2∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2．请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣3|﹣3=0，则此方程的根是______．22．已知关于x 的方程x 2﹣2(m+1)x+m 2=0(1)当m 取值范围是多少时，方程有两个实数根；(2)为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．23．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且关于x 的方程(c ﹣b)x 2+2(b ﹣a)x+(a ﹣b)=0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边(如图)．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．25．某电脑销售商试销某一品牌电脑(出厂为3000元/台)以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．(1)求1月份到3月份销售额的月平均增长率；(2)求3月份时该电脑的销售价格．26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销量y 1(千克)与x 的关系为y 1=﹣x 2+40x ；乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销量y 2(千克)与t 的关系为y 2=at 2+bt ，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:t1 2 3 y 221 44 69(1)求a 、b 的值；(2)若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？(3)问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？(说明:毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计)《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、精心选一选:1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3(x+1)2=2(x+1) D． +﹣2=0【解答】解:A、a=0时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误．故选C．2．用配方法解方程:x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是( )A．(x﹣2)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x﹣2)2=﹣2 D．(x﹣2)2=6【解答】解:把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，配方得(x﹣2)2=2．故选:A．3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是( )A．36(1﹣x)2=36﹣25 B．36(1﹣2x)=25 C．36(1﹣x)2=25 D．36(1﹣x2)=25【解答】解:第一次降价后的价格为36×(1﹣x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×(1﹣x)×(1﹣x)，则列出的方程是36×(1﹣x)2=25．故选:C．4．若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是( )A．2 B．1 C．﹣1 D．0【解答】解:设方程的另一个根是x，依题意得，解之得x=1，即方程的另一个根是1．故选B．5．若b(b≠0)是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解:把x=b代入方程x2+cx+b=0得到:b2+bc+b=0即b(b+c+1)=0，又∵b≠0，∴b+c=﹣1，故本题选B．6．关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足( )A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【解答】解:分类讨论:①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4(a﹣5)≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选:A．7．已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是( ) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解:∵a=1，b=﹣(2k﹣1)，c=k2，方程有两个不相等的实数根∴△=b2﹣4ac=(2k﹣1)2﹣4k2=1﹣4k＞0∴k＜∴k的最大整数为0．故选C．8．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为( )A．2 B．0 C．﹣1 D．无法确定【解答】解:由方程x2+mx+1=0得x2=﹣mx﹣1，由方程x2﹣x﹣m=0得x2=x+m．则有﹣mx﹣1=x+m，即x=﹣1．把x=﹣1代入方程x2+mx+1=0，得方程1﹣m+1=0，从而解得m=2．故选A．9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为2020的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程( )A．x(13﹣x)=2020．C．D．【解答】解:平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于(铁丝长﹣x)÷2，∴．故选B．10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m ﹣1)x+m2+3=0的根，则m的值为( )A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3【解答】解:由勾股定理可得:AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得:AO+BO=﹣2m+1，AO•BO=m2+3∴AO2+BO2=(AO+BO)2﹣2AO•BO=(﹣2m+1)2﹣2(m2+3)=25，整理得:m2﹣2m﹣15=0，解得:m=﹣3或5．又∵△＞0，∴(2m﹣1)2﹣4(m2+3)＞0，解得m＜﹣，∴m=﹣3，故本题选A．二、细心填一填:11．一元二次方程3x(x﹣2)=﹣4的一般形式是3x2﹣6x+4=0 ，该方程根的情况是无实数根．【解答】解:3x(x﹣2)=﹣4，3x2﹣6x+4=0，∵△=(﹣6)2﹣4×3×4=﹣12＜0，∴无实数根．故答案为:3x2﹣6x+4=0；无实数根．12．方程2﹣x2=0的解是．【解答】解:移项，得x2=2开方，得x=±．13．配方x2﹣8x+ 16 =(x﹣ 4 )2．【解答】解:∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣8，等号右边正好是一个完全平方式，∴常数项为(﹣8÷2)2=16，∴x2﹣8x+16=(x﹣4)2．故答案为16；4．14．设a，b是方程x2+x﹣2020=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为2020 ．【解答】解:∵a，b是方程x2+x﹣2020=0的两个不相等的实数根，∴a2+a﹣2020=0，∴a2+a=2020，又∵a+b=﹣=﹣1，∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2020﹣1=2020．故答案为:2020．15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为6，10，12 ．【解答】解:解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 6.7 cm．(精确到0.1cm)【解答】答:设高跟鞋鞋跟的高度为x，根据题意列方程得:(92+x)÷(153+x)≈0.618，解得x≈6.69，精确到0.1cm为，6.7cm．三、耐心答一答:17．用指定的方法解方程(1)(x+2)2﹣25=0(直接开平方法)(2)x2+4x﹣5=0(配方法)(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)(4)2x2﹣7x+3=0(公式法)【解答】解:(1)(x+2)2﹣25=0(直接开平方法)x+2=±5∴x1=3，x2=﹣7．(2)x2+4x﹣5=0(配方法) (x+2)2=9x+2=±3∴x 1=﹣5，x 2=1；(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)(x+2﹣5)(x+2﹣5)=0∴x 1=x 2=3；(4)2x 2﹣7x+3=0(公式法)x=x 1=3，x 2=．18．当x 取什么值时，代数式x(x ﹣1)与(x ﹣2)+1的值相等？【解答】解:根据题意得:x(x ﹣1)=(x ﹣2)+1，3x(x ﹣1)=2(x ﹣2)+6，3x 2﹣3x=2x ﹣4+6，3x 2﹣3x ﹣2x+4﹣6=0，3x 2﹣5x ﹣2=0，(3x+1)(x ﹣2)=0，3x+1=0或x ﹣2=0，x 1=﹣，x 2=2．19．已知关于x 的一元二次方程5x 2+kx ﹣10=0一个根是﹣5，求k 的值及方程的另一个根．【解答】解:根据二次方程根与系数的关系，可得x 1•x 2=﹣2，x 1+x 2=﹣，而已知其中一根为﹣5，有(﹣5)•x 2=﹣2，可得x 2=，又有x 1+x 2=﹣，解可得k=23；答:k=23，另一根为．2020高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t ﹣t 2．(1)经过多少秒钟，球飞出的高度为10m ；(2)经过多少秒钟，球又落到地面．【解答】解:(1)把h=10代入函数解析式h=7t ﹣t 2得，7t ﹣t 2=10，解得t 1=2，t 2=5，答:经过2秒或5秒，球飞出的高度为10m ；(2)把h=0代入函数解析式h=7t ﹣t 2得，7t ﹣t 2=0，解得t 1=0(为球开始飞出时间)，t 2=7(球又落到地面经过的时间)，答:经过7秒钟，球又落到地面．21．阅读下面的例题:解方程:x 2﹣|x|﹣2=0解:(1)当x ≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得:x 1=2，x 2=﹣1(不合题意，舍去)．(2)当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得:x 1=1(不合题意，舍去)，x 2=﹣2∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2．请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣3|﹣3=0，则此方程的根是 x 1=﹣3，x 2=2 ．【解答】解:(1)当x ≥3时，原方程化为x 2﹣(x ﹣3)﹣3=0，即x 2﹣x=0解得x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=1(不合题意，舍去)；(2)当x ＜3时，原方程化为x 2+x ﹣3﹣3=0即x 2+x ﹣6=0，解得x 1=﹣3，x 2=2．所以原方程的根是x 1=﹣3，x 2=2．22．已知关于x 的方程x 2﹣2(m+1)x+m 2=0(1)当m 取值范围是多少时，方程有两个实数根；(2)为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．【解答】解:(1)由题意知:△=b 2﹣4ac=[﹣2(m+1)]2﹣4m 2=[﹣2(m+1)+2m][﹣2(m+1)﹣2m]=﹣2(﹣4m ﹣2)=8m+4≥0，解得m ≥． ∴当m ≥时，方程有两个实数根．(2)选取m=0．(答案不唯一，注意开放性)方程为x 2﹣2x=0，解得x 1=0，x 2=2．23．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且关于x 的方程(c ﹣b)x 2+2(b ﹣a)x+(a ﹣b)=0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．【解答】解:∵x 的方程(c ﹣b)x 2+2(b ﹣a)x+(a ﹣b)=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=0，且c ﹣b ≠0，即c ≠b ．∴4(b ﹣a)2﹣4(c ﹣b)(a ﹣b)=0，则4(b ﹣a)(b ﹣a+c ﹣b)=0，∴(b ﹣a)(c ﹣a)=0，∴b ﹣a=0或c ﹣a=0，∴b=a ，或c=a ．∴此三角形为等腰三角形．24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边(如图)．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．【解答】解:设花边的宽为x 米，根据题意得(2x+8)(2x+6)=80，解得x 1=1，x 2=﹣8，x 2=﹣8不合题意，舍去．答:花边的宽为1米．25．某电脑销售商试销某一品牌电脑(出厂为3000元/台)以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．(1)求1月份到3月份销售额的月平均增长率；(2)求3月份时该电脑的销售价格．【解答】解:(1)设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x ，由题意得:400000(1+x)2=576000，1+x=±1.2，x 1=0.2，x 2=﹣2.2(舍去)∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为2020(2)设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y 元，由题意得:(4000﹣y)(100+0.1y)=576000，y 2﹣3000y+1760000=0，(y ﹣800)(y ﹣22020=0，∴y=800或y=22020当y=22020，3月份该电脑的销售价格为4000﹣220201800＜3000不合题意舍去．∴y=800，3月份该电脑的销售价格为4000﹣800=32020．∴3月份时该电脑的销售价格为32020．26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销量y 1(千克)与x 的关系为y 1=﹣x 2+40x ；乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销量y 2(千克)与t 的关系为y 2=at 2+bt ，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:t1 2 3 y 221 44 69(1)求a 、b 的值；(2)若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？(3)问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？(说明:毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计) 【解答】解:(1)根据表中的数据可得．答:a、b的值分别是1、2020(2)甲级干果和乙级干果n天售完这批货．﹣n2+40n+n2+20201140n=19，当n=19时，y1=399，y2=741，毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798(元)，答:卖完这批干果获得的毛利润是798元．(3)设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量，即甲级水果第m天所卖出的干果数量:(﹣m2+40m)﹣[﹣(m﹣1)2+40(m﹣1)]=﹣2m+41．乙级水果第m天所卖出的干果数量:(m2+2020﹣[(m﹣1)2+2020﹣1)]=2m+19，(2m+19)﹣(﹣2m+41)≥6，解得:m≥7，答:第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．。