哈密顿算符不同形式下的表达式胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。

本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。

另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。

关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用1.引言在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：V m p V T H+=+=2/ˆˆˆˆ2 如果我们从波函数)ˆ(rψψ=出发，位置算符是空间矢量自身： r r =ˆ 它的分量是 x x=ˆ ，y y =ˆ ， z z =ˆ 动量算符表示为 ∇-= i pˆ 它的分量是 x i p x ∂∂-=ˆ ，yi p y ∂∂-= ˆ ，z i p z ∂∂-= ˆ 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则∇-→ i p 得到V mH +∇-=222ˆ在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。

接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。

2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式2.1、极坐标下的哈密顿算符极坐标中独立变量ρ、ϕ与直角坐标中独立变量x 、y 之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x arctan22ϕρ图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有：ϕρϕρϕϕϕρρ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂sin cos x x x ϕρϕρϕϕϕρρ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂cos sin y y y哈密顿算子∇在直角坐标中的表达式为：y x e y e x ∂∂+∂∂=∇据上述坐标之间的微分关系为：222222)1()()cos (sin )sin (cos )()(ϕρρϕρϕρϕϕρϕρϕ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂y x 所以哈密顿算子∇在极坐标中的表达式为：ϕρϕρρe e ∂∂+∂∂=∇1据哈密顿算子2∇的计算过程有：)sin )(cos sin (cos )(22ϕρϕρϕϕρϕρϕ∂∂-∂∂∂∂-∂∂=∂∂∂∂=∂∂x x x 222222222sin cos sin 2cos sin 2sin cos ϕρϕϕρρϕϕϕρϕϕρρϕρθ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂= 222222222222cos cos sin 2cos sin 2cos sin ϕρϕϕρρϕϕθρϕϕρρϕρϕ∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂y 所以拉普拉斯算子2∇在极坐标中的表达式[5]为：22222211ϕρρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 或 22221)(1ϕρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=∇ 所以极坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成： V m H +∂∂+∂∂∂∂-=)1)(1(2ˆ2222ϕρρρρρ （1.1） 在极坐标下的动能表达式为：)(21222ϕρρ +=mT 正则动量为： ρρρ m Tp =∂∂=和 22ϕρϕϕ m T p =∂∂= 得到哈密顿量为： V m p m p H ++=22222ˆρϕρ （1.2） 在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足ij j i i p qδ =]ˆ,ˆ[的要求，如果仍将相应的算符表示为： ρρ∂∂-= i pˆ ， ϕϕ∂∂-= i p ˆ得到 V m H +∂∂+∂∂-=)1(2ˆ222222ϕρρ （1.3） 通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是ρρ∂∂-=i p ˆ并非厄密算符，一个算符F 满足F F =+，才是厄密算符。

量子力学中表示力学量的算符必须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。

所以ρρ∂∂-= i pˆ不能作为动量算符的分量表示。

通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为ρρρρρρ∂∂-=+∂∂-=1)21(ˆ i i p （1.4）现在把（1.4）式，ϕϕ∂∂-= i pˆ带入（1.2）式得到 V m m H++∂∂+∂∂+∂∂-=222222228)11(2ˆρϕρρρρ （1.5） 比较（1.5）与（1.1），发现多了228ρm 项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。

所以我们通过构造动量分量ρp ˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为p p•=ρρρ ˆ或ρρρ •=p p ˆ，过渡到量子力学，由于ρp ˆ和ρˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 ρρρρρρρ i i p p p -∂∂-=•+•=)(21ˆ 这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。

所以动量算符在球坐标系中的各分量为ρρρ i i p -∂∂-=ˆ，ϕϕ∂∂-= i pˆ。

2.2、柱坐标下的哈密顿算符柱坐标中独立变量r 、θ、z 与直角坐标中独立变量x 、y 、z 之间的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z z x y y x r arctan 22θ图2直角坐标与柱坐标的关系 据上述关系有：222222)()cos (sin )sin (cos )()()(z r r r r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂θθθθθθ 222)()1()(z r r ∂∂+∂∂+∂∂=θ所以哈密顿算子∇在柱坐标中的表达式为：z r e ze r e r ∂∂+∂∂+∂∂=∇θθ1 据哈密顿算子2∇的计算过程有：22222222222sin cos sin 2cos sin 2sin cos θθθθθθθθθθ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂r r r r r r r x 222222222222cos cos sin 2cos sin 2cos sin θθθθθθθθθθ∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂r r r r r r r y 2222zz ∂∂=∂∂。

所以拉普拉斯算子2∇在柱坐标中的表达式为：2222222211z r r r r ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇θ 或 2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇θ 所以柱坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成： V z r r r r r m H +∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=)1)(1(2ˆ222222θ （2.1）在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量r pˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为p r rp r •= ˆ或rr p p r •=ˆ，过渡到量子力学，由于r pˆ和rˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 ri r i r r p p r r pr-∂∂-=•+•=)(21ˆ 其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在Z 上的分量z pˆ。

所以动量算符在球坐标系中的各分量为r i r i p r -∂∂-=ˆ，θθ∂∂-=i p ˆ，z i p z ∂∂-= ˆ。

2.3、球坐标下的哈密顿算符球坐标中独立变量r 、θ、ϕ与直角坐标中独立变量x 、y 、z 之间的关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=x y z y x zy x r arctan arctan22222ϕθ图3直角坐标与球坐标的关系 根据上述关系有：ϕθϕθϕθϕθ∂∂-∂∂+∂∂-=∂∂sin sin cos cos cos sin r r r xϕθϕθϕθϕθ∂∂-∂∂+∂∂=∂∂sin cos sin cos sin sin r r r y ϕϕθ∂∂-∂∂=∂∂r r z sin cos 利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子∇在球坐标中的表达式ϕθϕθθe r e r e r r ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11 根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为：22222222222sin 11sin cos 2ϕθθθθθ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r r r 或 2222222sin 1)(sin sin 11ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r 所以球坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成： V r r r r r r m H +∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 11[2ˆ2222222ϕθθθθθ然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到V p r p r p m H r +++=)ˆsin 1ˆ1ˆ(21ˆ222222ϕθθ在球坐标下，动量整体的算符[6]表示)ˆsin 1ˆ1ˆ(ˆϕθϕθθer e r e r i i p r ∂∂+∂∂+∂∂-=∇-= 但是r i ∂∂-和θ∂∂-r i 1 都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。

为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取ri r i r r p p r r pr-∂∂-=•+•=)(21ˆ 这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。

同理，可以构造θθθθθtan 211)ˆˆ(21ˆr i r i e p p e p -∂∂-=•+•=，ϕθϕ∂∂-=sin 1ˆr i p 是厄密算符，可以作为ϕpˆ的算符表示。

2.4、哈密顿算符的矩阵形式量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。

现在，我们对哈密顿算符Hˆ的矩阵表示作一简略的数学推导。

在量子力学中，所研究的重要问题就是求解薛定谔方程： ψψE H=ˆ （4.1） 如果将波函数ψ看出是n 个线性无关的波函数),...2,1(n i i =ψ的线性组合，即：∑==+++=ni i i n n c c c c 12211...ψψψψψ （4.2）如果我们选取一组正交向量1ψ，2ψ，···，n ψ作为n 维空间的一个基底， 从而ψ可以用向量形式表示出来，即： ),...,,(21n c c c =ψ （4.3）再将哈密顿算符H ˆ看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。

不妨令：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a H..........................ˆ212222111211（4.4）矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。

因此，ψ经Hˆ变换后，可得一新的向量。

现令该新的向量为B：∑===n i i i n b b b b B 121),...,,(ψ也就是：∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i i i n n nn n n n n b B b b b c c c a a a a a a a a a H12121212222111211..........................ˆψψ （4.5）又因Hˆ是线性算符，故有： ∑==+++=+++=ni ii n n n n Hc H c H c H c c c c H H 122112211ˆˆ...ˆˆ)...(ˆˆψψψψψψψψ （4.6）根据矩阵代数可知，任一单位矢量i ψ经H ˆ变换后所得的新矢量iH ψˆ一定可写成1ψ，2ψ，···，n ψ的迭加形式，因此，可令：ini ij nnj j j d d d d H ψψψψψ∑==+++=12211ˆ ),...2,1(n j = （4.7）那么式（4.6）便成为： ∑∑===ni iij nj j d c H 11ˆψψ （4.8）对式（4.8）施以必要的代数运算： ∑∑∑∑======n i nj ij ij n j n i i ij j c d d c H 1111ˆψψψ 与式（4.5）进行比较，立即看出：∑==nj jij i cd b 1),...,2,1(n i =写成矩阵形式，即为： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n nn n c c c d d d d d d d d d b b b 2121222211121121..........................再与式（4.5）进行比较，就得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n nn n n n n d d d d d d d d d a a a a a a a a a ....................................................212222111211212222111211或： ij ij d a =若将式（4.6）两边左乘*i ψ并在整个空间积分，即得：τψψτψψτψψτψψd d d d d d d H n nj i j i j i j i ⎰⎰⎰⎰****+++=...ˆ2211τψψτψψd d d d r nr i rj r nr rj i∑⎰∑⎰=*=*==11（4.9）注意到i ψ，r ψ的正交、归一条件，即⎪⎩⎪⎨⎧≠===⎰*时当时当r i r i d ir ri 01δτψψ 那么式就变成： ij ij i i a d d H ==⎰*τψψˆ若积分τψψd H i i ⎰*ˆ用符号ij H 来代替，便有： ij ij a H =根据式（4.9），即得出哈密顿算符Hˆ的矩阵形式为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n H H H H H H H H H H ............................ˆ212222111211 3、哈密顿算符不同表达式的应用3.1、球坐标解法在中心力场中的应用自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题，如地球在太阳系中的运动，电子在原子核周围的运动等等。