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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )



(极大)
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(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )



(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
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1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
(或 x )
有水平渐近线 y b . 有垂直渐近线 x x0 .
若
(或 x x0 )
则曲线
例1. 求曲线
的渐近线 .
2 1
1 解: lim ( 2) 2 x x 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
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2. 斜渐近线 若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
2 4 y 8 y 4 x y 0 1 4 y y 2( x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
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3) 判别曲线形态
x ( , 1) 1 (1,1) y 0 y y 2
1
0 12 3
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例5. 描绘函数
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x 1 xe 2 , y 2
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 y e 2
2 x 2
(1 x 2 )
令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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3)
1
1 2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(1, 2)



2 ( 2 , ) 0
2 3
2
(极大)
(拐点）
(极小)
4)
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例4. 描绘方程
的图形.
( x 3) 2 , 定义域为 解: 1) y 4( x 1) 2) 求关键点 2( x 3) 4 y 4 y 4 x y 0 x 3 2y y 2( x 1)
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令
得：
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充分性： 设
单调增加， 对函数
分别在区间
上用拉格朗日中值定理得：存在
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定理2.(凹凸判定法) 设函数 (1) 在 I 内 (2) 在 I 内 证: 则
在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是下凸的 ;
则 在 I 内图形是上凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
x
y
1 2
e

x2 2
y 0 为水平渐近线
5) 作图
B
o
x
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思考与练习
1. 曲线 y
1 e
x2
2
1 e x
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
(A) 没有渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: lim
1 e
f (1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f ( ) ) ( x1 ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 f ( 2 ) x1 x2 x1 x2 2 )( x2 f ( x2 ) f ( ) f ( ) ) 2 ! ( x2 2 2 2 2 两式相加
(0 , )

上凸
的拐点 .
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说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凸性不变 . 2) 根据拐点的定义, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 的一个拐点. 或不存在, 但 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
x1 x2 f ( x1) f ( x2 ) 2 f ( ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
(
1 2!
x2 x1 2 [f 2
)
(1 ) f ( 2 )]
当 f ( x) 0时,

x1 x2 f( ), 2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
x2 x
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(2) 若恒有
则称 图形是上凸的; 或称f (x)为I上的上凸函数。
弦在弧的下方；切线在曲线的上方。
下凸也称为凸，上凸也称为凹。 y
o
x1
x1 x2 2
x2 x
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等价定义： 定义1´：设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
则称
图形是下凸的; （弦在弧的上方，或切线在曲线下方） (2) 若恒有 则称
(极大)
(1, 3) 3 0 无 定
1
(3 , )
义

0
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
( x 3)( x 1) 2 ( x 3) , y y , y 2 4( x 1) 4( x 1) ( x 1)3
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例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 n x y n n (x y ) ( ) ( x 0, y 0, x y, n 1) 2 2
证明：设 f (t ) t n (t 0, n 1)
则
f (t ) nt n1, f (t ) n(n 1)t n2 ,
3
1
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
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三、函数的作图
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
第五节
第三章
曲线的凸性与函数作图
一、曲线的凸性
二、渐近线 三、函数的作图
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一、曲线的凸性
定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
则称
图形是下凸的; 或称f (x)为I上的下凸函数。
B
弦在弧的上方；切线在曲线的下方。
A
y
o
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x1
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x1 x2 2
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2
y 1 1 又因 lim , 即 k x x 4 4 2 ( x 3 ) 1 1 x] b lim ( y x) lim [ x 4( x 1) 4 x 4 5x 9 5 lim 2 ( x 3 ) x 4( x 1) 4 y 4( x 1) 1 5 y x 为斜渐近线 ( x 3)( x 1) 4 4 y 4( x 1) 2 0 2 5) 求特殊点 x 2 1 y y 9 3 ( x 1 ) 4 4
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
x (或 x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
x3 解: y , lim y , ( x 3)(x 1) x3