2.已知 a (2, (8,10) ，求（1）
9. 平 行 四边形法则：
以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ， a b 。
10.共线定理：a b a / /b 。当 0 时， a与b 同向；当 0 时， a与b 反向
。
11. 基底：任意不共 线的两个向量称 为一组基底。 2
2
12.向量的模：若 a (x, y) ，则| a | x2 y2 ， a | a | ， | a b |
（7）若 ma mb ，则 a b 。
（8）若 ma na ，则 m n 。 （9）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。
（10）若 a b | a | | b | ，则 a / /b 。
（11）若| a b || a b |，则 a b 。
题型 2.向量的加减运算
6.已知 AB (2, 3) ， BC (m, n) ， CD (1, 4) ，则 DA
。
7.已知O 是坐标原点， A(2, 1), B(4,8) ，且 AB 3BC 0 ，求OC 的坐标。
题型 6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知e1,e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
， AD
。
3
5.已知点 C 在线段 AB 上，且 AC AB ,则 AC BC ， AB BC 。 5
题型 3.向量的数乘运算
1.计算：
2(2a
5b
3c)
3( 2a
3b
12c)
2.已知 a (1, (3,8) ，则 3a
。
4), b
b
2
题型 4 根据图形由已知向量求未知向量
。
3.若物体受三个力 F1 (1,2) , F2 (2,3) , F3 (1, 4) ,则合力的坐标为
。
4.已知
a
(3,
4)
，b
(5,
2)
，求
ba
，b a
，2b3a
。
2
5.已知 A(1,2), B(3, 2) ,向量 a (x 2, x 3y 2) 与AB 相等，求 x, y 的值。
1 共线向量就是在同一条直线上的向量。
2 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是
AB CD。
（5） 若 AB CD ，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。
1
（6） 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。
1.设 a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则| a b |
。
2.化简(AB MB) (BO BC) OM
。
3.已知| OA | 5 ,| OB | 3 ,则| AB | 的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知 AC为与ABAD 的和向量，且 AC a, BD b ，则 AB
1.已知在ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量 AB，AC表示 AD 。
2.在平行四边形 ABCD 中，已知 AC a, BD b ，求 AB和AD 。
题型 5.向量的坐标运算
1.已知 AB (4, 5) ， A(2,3) ，则点 B 的坐标是
。
2.已知 PQ ( 3, 5) ， P(3, 7) ，则点Q 的坐标是
A. e1 e2和e1 e2 B. 3e1 2e2和4e2 6e1 C. e1 3e2和e2 3e1 D. e2和e2 e1
2.已知 a (3, 4) ，能与 a 构成基底的是（ ）
34 A. ( , )
55
B. 4( 3, ) C.( 3 , 4) D.(1, 4)
平面向量
【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】
1. 向量：既有大小又有方向的量。记作： AB 或 a 。
2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB | 或| a | 。
3. 单位向量：长度为 1 的向量。若 e 是单位向量，则| e | 1。
4. 零向量：长度为 0 的向量。记作： 0 。【0 方向是任意的，且与任意向量平行】
与
b
的夹角为60
，求（1）
a
b
，（2）a
(a
b
)
，
（3） (a ，（4）(2a
(a 。
b )b 2
b) 3b)
2.已知 a (2, (8,10) ，求（1）
，（2） a ，（3） a (2a ，
6), b
| a |,| b |
b
b)
（4） (2a b()a 3b )。
3
题型 9.求向量的夹角
13.数量积与夹角公式： ab | a | | b | cos ；
cos a b
Hale Waihona Puke | a || b |(a b)2
14.平行与垂直： a / /b a b x1 y2 x2 y1 ； a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
题型 1.基本概念判断正误：
55
55
3
题型 7.结合三角函数求向量坐标
1.已知O 是坐标原点，点 A 在第二象限， | OA| 2 ， xOA 150 ，求OA 的坐标。
2.已知O 是原点，点 A 在第一象限， | OA |4 3 ， xOA 60 ，求OA 的坐标。
题型 8.求数量积
1.已知 |
a1|
3,|b
|
4
，且
a
1.已知| a| 8,| b | 3 ， a b 12 ，求 ab 与 的夹角。
2.已知 a ( 3,1), b (2 3, 2) ，求 a 与b 的夹角。
3.已知 A(1, 0) ， B(0,1) ， C(2, 5) ，求cos BAC 。
题型 10.求向量的模
1.已知| a| 3,| b | 4 ，且 a与 b的夹角为60 ，求（1）| a b | ，（2）| 2a 3b | 。
5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。 7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。 AB BA 。
8.
三角形法则：
AB BC AC ； AB BC CD DE AE ； AB AC CB （指向被减数）