习 题2-1 如题图2-1所示的网络系统，设输入控制变量为i i ，输出变量为R u 。

取c v 和L i 为状态变量。

试求系统的状态空间表达。

题图2-1 网络系统解：根据基尔霍夫定律，有i c L c c L c L R Li i idv i C dtdi v i R L dtu i R =+⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩⇒c i LL c L R L dv i i C dt di v L i R dt u i R ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩⇒ci L c L L dv i i dt C C v di i R dt L L ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, R L u i R =整理，得2-2 试求题图2-2系统的状态空间表达式。

解：依题意，有111212222()[()()]()()()()[()()]()()()i A A A o o o T t k t t T t T t J t T t k t t T t J t f t θθθθθθθ=-⎧⎪-=⎪⎨=-⎪⎪=+⎩ cL c L c iC i v L R LC i v ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01110 []0c R L v u R i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设1o y x θ==，2o x θ=，3A x θ=，4A x θ=，i u θ=，则将上述方程组化简可得：12222123222342121413111x x k k f x x x x J J J x x k k k k x x x u J J J =⎧⎪⎪=--+⎪⎨=⎪⎪+=-+⎪⎩于是得：112222222331442121111000000000100x x k k f JJ J x x u x x k x xk k k J J J ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]12341000x x y x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦这就是所求系统的状态空间表达式。

(答案：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡o o A A i o o A A o oA Ay J k J f J k J k J k J k k ωθωθθωθωθωθωθ010000001000000010112222212121 ） 2-3 试求题图2-3系统的状态空间表达式。

题图2-3 系统方块结构图θ（s ）（答案：）2-4 设系统的方程为u y y y =++35 试求其状态空间表达式。

选取状态变量，使得状态向量的系数矩阵为对角线矩阵。

解：()()()21352135351351223-+++++=++=++=s C s B s A s s s ss s s U s Y [][]τθ6543211654321111101111265432100000100000000000000010000000000010x x x x x x uk k x x x x x x k k k k k k k J k J J k J k J k x x x xx x p p pp a pb =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132132100121350021350000x x x y u C B A x x x s s x x x （答案：设yx yx y x ===321,,[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321001100530100010x x x y u x x x x x x) 2-5 试求下列系统的状态空间表达式。

()()()()()32610+++=s s s s U s Y (答案：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121211130403002x x y u x x x x）2-6 有电路如题图2-6所示。

以电压u （t ）为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。

题图2-6 电路图解：根据基尔霍夫定律，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++dt dU C i i U i R dt di L U U dtdi L i R cc c 2122221111 整理，并设2,,,23121R c u y i x i x u x ====，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000/10/0/10//1/1/10x x x R y u L x x x L R L L R L c c x x x2-7 如题图2-7所示系统，有两个输入1u 、2u ，两个输出1y 、2y ，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

题图2-7 双输入-双输出系统结构图解：取每个积分器的输出为状态量，从左至右、由上至下分别设为4321,,,x x x x ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡43212121214321435621432110000010000000110000010x x x x y y u u b b x x x x a a a a a a xx x x2-8 设系统方程为0254=+++y y yy 试求其状态空间表达式。

选取状态变量，使得状态向量的系数矩阵为约当标准型。

解：：设yx y x y x ===321,,[][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132132132,13213213211012000100112,1001452100010z z z y z z z z z zx x x y x x x x x xλλ2-9 设系统方程为u u y y yy 225+=+++ 试求其状态空间表达式。

（答案：[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321001310512100010x x x y u x x x x x x） 2-10已知系统传递函数()()()()()()()()()()232162311101+++=++-=s s s s s W s s s s s W试求出系统的约旦标准型的实现。

解：（1）利用部分分式法1020()10(1)1033()()(1)(3)13Y s s W s U s s s s s s s ---===++++++选择1103()()X s U s s-=，210()()(1)X s U s s =--，3203()()(3)X s U s s -=-- 拉氏反变换，得1103x u =-2210x x u =-+332033x x u =--则有11223310000301010003203x x x x u x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦[]123111x y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()()223433/10233/132162+-+-++=+++=s s s s s s s s s W拉氏反变换，可得[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3/133/1041110000002000030001343214321y u x x x x x x x x (答案：（1）[]zz z 3/20103/10111300010000--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=y u （2）u ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=9763119470000020********3z z ）2-11 试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。

（1） []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212101102112x x y u x x x x（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x(答案：（1）[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212121115.05.01003z z y u z z z z（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321213213213224434325313100030013z z z y y uz z z z z z ） 2-12 试求下面状态空间表达系统的传递函数[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y ux x x x x x（答案：()()2112+++s s s ）。