• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，1 1 0 0
A000..25
• 模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转置 矩阵，其中aijT = aji.
转置运算的性质：
性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT，
( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T =( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .
设A01.4
0.7 0.8
00.5,B010.4
00..76,则 0.3
AB01.4
00..76,BA000...763
0.7 0.6 0.3
0.5 0.5 0.3
模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 =
A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
0 0 ..4 10 0 ..7 3 3 0 0 ..4 30 0 ..7 3 0 0 ..4 10 0 ..7 3 0 0 ..4 30 0 ..7 3
比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不 动的点”.
2. 指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表
达式。
3. 借用已有的“客观”尺度
•模糊矩阵及运算与性质
• 模糊矩阵
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
1 0.1 0.3
0.1 1 0.8
001..83,
A0.3100
1 0 1
0 1 1
1 11
•模糊综合评价模型
• 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑 的因素很多，而且有些描述很难给出确切 的表达，这时可采用模糊评价方法。它可 对人、事、物进行比较全面而又定量化的 评价，是提高领导决策能力和管理水平的 一种有效方法。
例设A00..21 00..31,B00..23 00..21，则
A
B00..23
00..23,A
B00..21
00..11,Ac 00..98
0.7 0.9
• 模糊矩阵的合成
设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，称模糊矩阵
A ° B = (cij)m×n，
为A 与B 的合成，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} .
•模糊综合评价的基本步骤：
（1） 首先要求出模糊评价矩阵P，其中Pｉｊ 表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶 属度，当对多个目标进行综合评价时，还 要对各个目标分别加权，设第i个目标权系 数为Wｉ，则可得权系数向量： A＝（W1，W2，…Wｎ）
（2）综合评判 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量B
数学建模
——模糊数学方法
主讲人：
模糊数学方法
• 模糊集的基本概念 • 模糊综合评判 • 模糊聚类分析
模糊集的基本概念
• 模糊子集与隶属函数 • 隶属函数的确定 • 模糊矩阵及运算与性质
• 模糊子集与隶属函数
设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度.
使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具 模糊性.
当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典 子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集 就是模糊子集的特殊情形.
例 设论域 Ex1,x2,x3,x4
A0.50.30.40.2 x1 x2 x3 x4
B0.2 0 0.6 1 x1 x2 x3 x4
，
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高， 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为
A(x) x140 190140
也可用Zadeh表示法：
A00.20.40.60.81 x1 x2 x3 x4 x5 x6
Ac (x) = 1- A(x).
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U 上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商 品质量坏”，并设
A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.
• 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A.
又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
• 隶属函数的确定
1.模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的 不同定义，可得到不同的模型