在OXYZ中表示为{Y} 在{C}中表示为{X}
Y CX X C1Y
Rot κ, Y CRot Zc, X Rot κ, Y CRot Zc , X CRot Zc , C 1Y Rot κ, CRot Zc, C1
xxV c y xV z s z xV ys 0
R n o a 旋转矩阵
nx
ox ax
n
ny
o
oy
a
a
y
nz
oz az
分别表示固连于刚体的坐标系三个坐标
轴在参考坐标系中的位置！
2、旋转矩阵的一般形式
xA
Ar
yA
zA
xB
Br
yB
zB
已知 Br 和坐标系B与A的关系， 求 Ar 。
Ar ARB Br
A RB
平移方程
2）旋转坐标变换
A p ARB B p
旋转方程
B p BRA A p ARB 1 A p ARB T A p
旋转矩阵为正交矩阵！
同一行、列元素的平方和=1；
不同行、列元素对应乘积的和=0；
矩阵行列式=1.
旋转矩阵的9个元素是线性相关的！
3）复合坐标变换
A p ARB B p ratation
Rot κ, x yV zs y yV c z yV xs 0
x
zV
0
y
s
y zV xs
0
z zV c
0
0 1
V 1 cos
Rotating about Z axis
x 0, y 0, z 1
等效旋转轴及等效旋转角 κ,
本章小结:
➢ 参考坐标和关节坐标（移动坐标） ➢ 位置、姿态的表述方式（直角坐标、欧拉坐标） ➢ 坐标变换、齐次坐标变换 ➢ 一般旋转变换、等效旋转变换
Ap 1
A RB 013
A
pBo 1
Bp 1
齐次坐标变换矩阵可分解成为平移矩阵 与旋转矩阵的乘积
A
RB
013
A
pBo
I33
1 013
A
pBo 1
A RB 013
031 1
基本齐次坐标变换矩阵
组合变换后齐次坐标变换矩阵的求解
变换次序：1-2-3…-N （参考坐标系为0）
2.2 机器人位姿表述
机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成的 多刚体系统。
2.2.1 直角坐标表示 1、刚体位姿表示
用一个3维列向量表示刚体 中的点（向量）在参考坐标系的位置
Ro xo yo zo T
1、刚体位姿表示
用一个固连于刚体上的3维 坐标与参考坐标系之间的方 向关系表示刚体在空间的方 向（姿态）
用来确定定点转动刚体位置的一组（3 个）独立角参量 旋转的组合（刚体的多次旋转）：
绕当前轴旋转；
A EulerB , , R ZA , R Y1, R Z2 ,
绕固定轴旋转
ARPYB , , RZA, RYA, R X A,
c s cc
s
cs s sc ss s cc
1）相对于参考坐标系的组合变换
0TN
T N 1 N
L
2T3 1T2 0T1
矩阵相乘的顺序与变换顺序相反
2）相对于当前坐标系的组合变换
0TN 0T1 1T2 2T3 L
T N 1 N
矩阵相乘的顺序与变换顺序相同
齐次变换的逆变换
A p ATB B p
B p BTA A p ATB 1 A p
第2 章 坐标系及其变换
2.1 机器人坐标系
用来准确、清晰地描述机器人的位姿 2.1.1 参考坐标系
建立空间3维坐标系的右手法则！
位置和方向不随机器人各 关节的运动而变化；一般采用 空间3维坐标系。
2.1.2 关节坐标系
3 2
6
4
5 1
用来描述机器人每一个独立关节的运动。 特别需要指出的是机器人的每一个关节都只具有一个自由度！
BTA
ARB
T
013
ARB
T
P A B0
1
一般旋转变换 旋转轴线不与参考系的任何轴线重合
引入一个新的坐标系{C}
nx ox ax 0
C
ny
oy
ay
0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
Rot κ, Rot Zc,
κ axi ay j azk
被旋转的坐标系 O' x' y ' z '
坐标{B}向坐标{A}变换的旋转矩阵；描述坐
标{B}在坐标{A}中的姿态，姿态矩阵。
5
基本旋转矩阵（绕坐标轴的旋转）
1 0
0
R X A, 0
cos
sin
0 sin cos
cos 0 sin
R
YA
,
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
R
Z
A
,
sin
cos
0
0
0 1
2.2.2 欧拉角表示
Ap
B
p
p A Bo
translation
Ap
ARB
Bp
p A Bo
Composite Transformation
2.3.2 齐次坐标及其变换
Ap
A RB
Bp
p A Bo
A p ATB B p
Ap 1
A RB 013
A
pBo 1
Bp 1
齐次坐标 齐次坐标变换矩阵
齐次变换：就是把被变换坐标系所描述的矢 量变换成用其参考坐标系所描述的矢量
c s
cs c ss
ss c
c s
cc
2.3 坐标变换
2.3.1 直角坐标及其变换 1、直角坐标与向量运算
A axi ay j azk B bxi by j bz k
向量的点积、向量的叉积
2、坐标变换 空间的同一点（向量）在不同坐标系的描述
1）平移坐标变换
Ap

Bp
p A Bo