《三角函数恒等变换》知识归纳与整理一、基本公式1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±)( 同名乘积的和与差S C C S S βαβαβα±=±)( 异名乘积的和与差T T T T T βαβαβα1)(±=±（2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22=S C S C C 222222112ααααα-=-=-= 差点等于1T T T2212ααα-=（3） 半角的三角函数212C Sαα-±=212C C αα+±=C C Tααα+-±=112θθθθθsin cos 1cos 1sin 2-=+=T2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差][21)()(C C C C βαβαβα-++==S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-=（2） 和差化积][222C S S S βαβαβα-+=+][222C S S S βαβαβα+-=-][222C C C C βαβαβα-+=+ ][222S S C C βαβαβα-+-=-（3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）T T S 22212ααα+=T T C 222211ααα+-=T T T 22212ααα-=（4） 辅助角公式 )sin(cos sin 22ϕ++=+x x b x a b a其中：ab =ϕtan常见的几种特殊辅助角公式：① )4sin(2cos sin π+=+x xx② )3sin(2cos 3sin π+=+x x x③)6sin(2cos sin 3π+=+x x x④ )4sin(2cos sin π-=-x x x⑤ )3sin(2cos 3sin π-=-x x x⑥ )6sin(2cos sin 3π-=-x x x二、理解证明1、两个基本公式的证明①S S C C C βαβαβα-=+)(的证明方法：在单位圆内利用两点间的距离公式证明。
计算繁杂。
在化简中注意使用“1cos sin 22=+αα”②S S C C C βαβαβα+=-)(的证明方法：在单位圆内利用向量的数量积证明。
计算简便。
运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。
或者：在单位圆内利用三角函数线证明。
构图较难。
利用三角函数线的加减、平移来代换。
2、由两角和向差的演变方法：用β-代替β，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。
3、由余弦向正弦的演变方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：)sin()])2([cos βαβαπ+=--，展开即可推导出正弦的两角的和公式。
4、由正弦和余弦推导正切方法：利用：)tan()cos()sin(βαβαβα±=±±可以推导出正切的两角和与差有的公式。
5、由两角和推导二倍角方法：把βα+换成αα+代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。
6、由余弦的二倍角推导半角方法：由余弦的二倍角公式：S C S C C 222222112ααααα-=-=-=，把α2换成α，即α换成2α，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。
然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。
另外：关于正切的另一个半角公式：θθθθθsin cos 1cos 1sin 2-=+=T可以通过：2cos2sin 2tanθθθ=来理解。
特别体会其演变过程中的转化思想：分子、分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简。
7、由两角的和与差推导积化和差方法：整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。
相加会抵消尾项，相减会抵消首项。
这与完全平方的和与差的加减类似。
)()(22b a b a -++会抵消中间项，剩下首尾项的2倍；而)()(22b a b a -+-会抵消首尾项，剩下中间项的2倍。
8、由两角的和与差推导和差化积方法：对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。
利用展开相抵原则即可得到。
关键是角度的转换问题。
只有一个角无法展开。
因此引入了一个合新的角度变换方法：把单角：α和β转换成两角的和与差：22βαβαα-++=，22βαβαβ--+=。
于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。
9、万能公式的理解方法：利用二倍角公式转换：2cos2sin2sin ααα=，然后把分母“1”巧妙利用。
12cos2sin2sin ααα=，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。
值得高度关注。
222cos2sin212cos2sin2sin cossin22ααααααα+==，然后上下再同时除以2cos2α即得。
同样利用二倍角公式转化余弦：22cos sincos 22ααα-==122sin cos22αα-再巧妙利用“1”的转化：2222cos sin sincos2222αααα+-，上下同时除以2cos 2α即得。
对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。
10、辅助角公式的理解方法：辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。
只是通过一些转换化成：αββαsin cos cos sin ±的形式而已。
对于x b x a cos sin +来说：要通过换元法来转换，这种换元法叫三角换元法（以前的换元法叫代数换元法）。
三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简化式子的作用。
分析思考过程如下：若直接换元：令cos a =ϕ，则怎样用三角函数式表示b 呢？无法完成换元过程，因此：x b x a cos sin +化不成αββαsin cos cos sin ±的形式。
若提公因式呢！假如公因式为ab ，则得：)cos 1sin 1(cos sin x a x b ab x b x a +=+，此时令b1cos =ϕ，也无法用三角函数表示出a 1，因而化不成：αββαsin cos cos sin ±的形式。
所以公因式必然与a 、b 同时有联系。
考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数a 、b 放到直角三角形中来思考：若a 、b 分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：b a22+。
这个常数b a22+显然与a 、b 都有关系。
假如公因式是b a22+，则x b x a cos sin +化为：)cos sin (cos sin 222222x bx ax b x a ba ba b a++++=+此时令ϕcos 22=+ba a（此时在直角三角形中，a 为邻边，b a 22+为斜边） 所以：ϕsin 22=+ba b（此时在直角三角形中，b 为对边，b a22+为斜边）于是x b x a cos sin +化为：)cos sin sin (cos cos sin 22x x x b x a b a ϕϕ++=+根据两角和的正弦公式得：)cos sin sin (cos cos sin 22x x x b x a b aϕϕ++=+=)sin(22ϕ++x b a在直角三角形中：ab=ϕtan （对边：邻边）当然：若令ϕsin 22=+ba a，则ϕcos 22=+ba b则于是x b x a cos sin +化为：)cos cos sin (sin cos sin 22x x x b x a b aϕϕ++=+=)(cos 22ϕ-+x b a所以：x b x a cos sin +=)(cos 22ϕ-+x b a=)(cos 22x b a-+ϕ此时：ba=ϕtan （对边：邻边） 在此推导过程中，千万注意：两种演变中的ϕ是不同的（实质上这两个ϕ角互余）。
不然就会产生以下错觉：)cos()sin(ϕϕ-=+x x 。
如果注意到两个ϕ角互余，那么就会得到：)]2(cos[)sin(ϕπϕ--=+x x下面来分析这个结论：)]2(cos[)sin(ϕπϕ--=+x x右边＝])(2cos[)]}(2[cos{]2)cos[()]2(cos[ϕπϕππϕϕπ+-=+--=-+=--x x x x由诱导公式得：=+=+-)sin(])(2cos[ϕϕπx x 左边所以结论成立。
三、实际运用1、给角求值：告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。
（1）求︒15sin 、︒cos15的值 方法1：直接用半角公式可求得：︒15sin =2232423243222312cos301-=-=-=-=︒- =426221322)13(2-=-=-︒cos15=2232423243222312cos301+=+=+=+=︒+ =426221322)13(2+=+=+ 方法2：由两角的差求得：︒︒-︒︒=︒-︒=︒30sin 45cos cos30sin45)30sin(4515sin=426424621222322-=-=⨯-⨯ 同理可得：︒︒+︒︒=︒-︒=︒30sin 45sin 30cos 45cos )30(45cos 15cos =426424621222322+=+=⨯+⨯ 方法3：用60°与45°的差角求得︒︒-︒︒=︒-︒=︒45sin 60cos cos45sin60)45sin(6015sin=426424622212223-=-=⨯-⨯ 同理可得：︒︒+︒︒=︒-︒=︒45sin 60sin 54cos 06cos )45(60cos 15cos=426464222232221+=+=⨯+⨯方法4：利用直角三角形作图计算延长CA 到D ，使AD=AB 。
则易知：∠D=15°设BC=1，则AB=2，AC=3； CD=2+3 ∴）（3242134811115sin )32(222+=+=+=+==︒+CDBC BCDBBC=426261)13(21211)3(2-=+=+⨯=⨯+ 同理可求得cos15°）（3242323483213215cos )32(222++=++=++=+==︒+CDBC CDDBCD=4264)32()26(2632+=+⨯-=++ 方法5：利用诱导公式和倍角公式求解：利用诱导公式我们知道：150cos °的值，然后利用倍角公式可求得75cos °的值，再利用诱导公式就可以求出sin15°的值。
∵150cos °=23-， ∴75cos °=2150cos 1︒+=42683242231-=-=- ∴42615sin -=︒ 同理可得：∵150sin °=21，∴75sin °=2150cos 1︒-=42683242231+=+=+∴42615cos +=︒（2）求︒15sin +︒cos15的值 方法1：分别求出︒15sin 的值：426- 和 ︒cos15的值：426+ 二者相加得：︒15sin +=︒cos15426-+426+=26462=方法2：直接利用辅助角公式计算：︒15sin +26232sin602)4515sin(2cos15=⨯=︒⨯=︒+︒=︒ 方法3：巧妙利用公式：1cos sin 22=+αα和倍角公式︒15sin +︒cos15==︒︒+=︒+︒cos15sin1521)cos15(sin152︒+30sin 1=264623211===+方法4：运用向量计算：将︒15sin +︒cos15写成：115sin ⨯︒+1cos15⨯︒ 这样可以看成两个向量的数量积。