体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2 h3 = 2 + h2 + h2 h1 2 3 证明： 法一： 由 K h =
2π d h1h2 h3
得： d h1h2 h3 =
2π K h1h2 h3
2π b1 = i a 2π b2 = j a 2π b3 = k a
3.能态密度
Z dZ N ( E ) = lim = dE E 0 E
单位能量间隔内的状态数目
2V 2 2 = 3 L 2
3
g(E) =
dZ dE
K空间考虑自旋状态密度为 E-k关系 按能量分布的状态密度 能量变化 dE k状态变化 dk
g (E ) =
4.倒格子 晶体结构=晶格+基元 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 正格基矢 a 1 , a 2 , a 正格（点位）矢：
3
倒格 倒格基矢
b1 , b 2 , b 3
倒格（点位）矢：
Rn = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
K n = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b 3
简立方：a 1 = a i , a 2 = a j , a 3 = a k ,
2π 2π b1 = a2 a3 = i Ω a
b2
3 1
2π 2π = a a = j Ω a

2π 2π b3 = a1 a 2 = k Ω a
2π b1 = i a 2π b2 = j a 2π b3 = k a
晶体结构
正格
倒格 1.
1.R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
2.与晶体中原子位置 相对应； 3.是真实空间中点的周 期性排列； 4.线度量纲为[长度]
K n = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b 3
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
倒格矢 K h = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b 3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其长度为 d h h h 。
1 2 3
2π
(1)证明
K h = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b 3
与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
(2)证明 K h = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b 3 的长度等于 由平面方程： X n = d 得：
2π d h1h2 h3
。
dh h h
1 2
3
a1 K h a1 h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 2 π = = = h1 K h h1 Kh Kh
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 解： 体心立方的原胞基矢：
v(- k ) = -v(k )
2.电子有效质量与加速度
2E 2 k x a x a = 1 2 E y 2 k y k x az 2E k k z x 2E k x k y 2E k 2 y 2E k z k y 2E k x k z 2E k y k z 2E k z2 F x F y Fz


a2 a3 =
i a a =i 2 a 2 a 2 2
a a 2 + j 2 a a 2 2
a a 2 +k 2 a a 2 2
a 2 a 2
a2 a2 = j+ k 2 2
a2 a2 a2 a3 = j + k 2 2
2π b1 = a2 a3 = Ω
每个布里渊区中波矢k可取N个值，而能带序号越小，能 带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大。
由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中共有N个能 级，因固体物理学原胞数N很大，一个能带中众多的能级可以近 似看作是连续的，称为准连续。 —— 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时 ，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能 带 ------由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子，所以每 个能带可以容纳2N个电子。 —— 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级
dZ dZ d * dk = dE d * dk dE
k空间体积的变化 d*
状态数的变化 dZ
3 2
自由电子气的能态密度
1 dZ = cE N (E) = dE 2
2m 其中C = 4 π V c h 2
五晶体中电子的速度、加速度和有效质量
1.电子运动速度
1 v k = k E (k )
三导体、半导体和绝缘体
1.满带、导带、近满带和空带 (1)满带：能带中所有电子状态都被电子占据。 (2)导带：能带中只有部分电子状态被电子占据，其余为 空态。 (3)近满带：能带中大部分电子状态被电子占据，只有少数 空态。 (4)空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。 2. 导体、半导体和绝缘体的能带
倒格基矢定义为：
2π b1 = a2 a3 Ω 2π b2 = a 3 a1 Ω 2π b3 = a1 a 2 Ω


其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω = a
1
a

2
a
3

是固体物理学原胞体积
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方 向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2倍。
四、自由电子气的能量状态密度 1.自由电子气(自由电子费米气体)：是指自由的、无相互 作用的、遵从泡利原理的电子气。 2.自由电子气的能量
2 πn x k = ; x L 2 πn y ; k y = L k = 2 πnz ; z L
2k 2 2 2 2 E = = (k x + k 2 + k y z ) 2m 2m
空带 导带 禁带 空带 禁带 导体 绝缘体
有导带
绝缘体禁带宽
半导体
半导体禁带窄
3.空穴 满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变 成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。 空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+e。
* (1)k h = -k e (2)Eh(kh ) = -Ee (ke ) (3)v(k h ) = v(k e ) (4)m* = m h e
同理得：
1 3 Ω = a1 a 2 a 3 = a 2
2π a 2 2π j+k = j+k 3 a 2 a 2







倒格矢：
2π b1 = j+k a 2π b2 = i+k a
2π b2 = i+k a


2π b3 = i+ j a
2π b3 = i+ j a
六 本征半导体的导电机构
－本征半导体在绝对零度时导带 是空的，并且由一个能隙Eg与充 满的价带隔开。 －当温度升高时，电子由价带被 热激发至导带。导带中的电子和 留在价带中的等量空穴二者都对 电导率有贡献。 －两种载流子导电机制是半导体 与金属的最大差异。金属中只有 一种载流子。 导带 禁带 价带
a1 a a
2
3
a = - i + j + k 2 a = i - j + k 2 a = i + j - k 2



2π a2 a3 Ω 2π b2 = a 3 a1 Ω 2π b3 = a1 a 2 Ω b1 =


1 Ω = a1 a 2 a 3 = a 3 2
－如果价电子刚好填满一个或者更多的能带，而其余能带仍然为全空，那么 这个晶体将是一个绝缘体 －只有在晶体的初基晶胞内的价电子数目为偶数时，晶体才可能是绝缘体。 但是，如果它的能带在能量上存在交叠，就可能给出金属性质的两个部分充 满的能带，而不是一个构成绝缘体的满带 －碱金属和贵金属的每个初基晶胞含有一个价电子，因此他们必定是金属性 的 －金刚石、硅和锗每个初基晶胞包含两个4价原子（8个价电子），能带不交 叠，纯净晶体在绝对零度时为绝缘体
记为[ l1 l 2 l 3]， [ l1 l 2 l3 ]即为该晶列的晶列指数。
晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a 1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份； (2)以 a1 , a 2 , a 3 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 上的截距倒数的互质比； (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
K h1h2 h3 = h1 b 1 + h2 b 2 + h3 b 3
2π = h1 i + h2 j + h 3 k a


K h1 h2 h3
2π = a
2 2 h12 + h2 + h3
d h1h2 h3 =
2π K h1h2 h3
=
a
2 + h2 + h2 h1 2 3
二，能带理论 (1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁 带，禁带宽度为 2 Vn ； (2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上 弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线； (3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。 利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。