普宁市华侨中学2017届高三级上学期·期末考文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。

2.用2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卷的整洁。

第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x ＜﹣1}，则集合A∩B=（ ） A ．{x|﹣2≤x＜4}B ．{x|x≤3或x≥4}C ．{x|﹣2≤x＜﹣1}D ．{x|﹣1≤x≤3}2.已知i 为虚数单位，复数11z i=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3.若a ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．4.已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，有以下四个命题： A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,m ααβ⊥⊥，则//m β C ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥6.某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67.已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3A π=，且2cos b a B =， 1c =，则ABC ∆的面积等于（ ）A .34 B .32 C .36 D .388.如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．k=7B ．k≤6C ．k ＜6D ．k ＞69.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( ) A ．21111122222n n +++⋅⋅⋅+=- B ．211112222n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅< C ．21111222n ++⋅⋅⋅+= D ．21111222n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅< 10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（ ）A ．B ．4πC ．2πD ．11.函数f （x ）=sinx •l n|x|的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知抛物线2:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线2222:2x y E a b-=(0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 离心率为（ ） A ．63 B ．2 C ．153D ．3 第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分） 13.设数列{}n a 前n 项和为n S ，如果()136,73n n S a a n N n +==∈+那么48a =_____． 14.过双曲线的左焦点F 1作一条l 交双曲线左支于P 、Q 两点，若|PQ|=4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 ．15.已知OA 为球O 的半径，垂直于OA 的平面截球面得到圆M （M 为截面与OA 的交点）.若圆M 的面积为2π，2OM =，则球的表面积为___________.16.设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=abx+y （a ＞0，b ＞0）的最大值为35，则a+b 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37S =，且1a ，2a ，31a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若421log n n b a +=，1n =，2，3，求和：12233411111n nb b b b b b b b -++++．18. （本小题满分12分）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？ 参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 19. （本小题满分12分）已知函数()23cos 2cos f x x x x =+．（1）求24f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若函数()f x 在区间[],m m -上是单调递增函数，求实数m 的最大值． 20. （本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ADC BCD ∠=∠=︒，2BC =，3CD =，4PD =，60PDA ∠=︒，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AD PB ⊥；（2）在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D --的大小为6π，若存在，求出PMPA的值；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分）如图所示，抛物线1C ：24x y =在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 与椭圆2C ：22142x y +=相交于C ，D 两点．（1）求抛物线1C 的焦点F 与椭圆2C 的左焦点1F 的距离；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，试问：是否存在直线AB ，使得AB ，d ，CD 成等比数列？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由． 22. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x =．（1）若函数()()F x tf x =与函数()21g x x =-在点1x =处有共同的切线l ，求t 的值；（2）证明：()()12f x f x x x ->+；（3）若不等式()mf x a x ≥+对所有30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,x e ⎡⎤∈⎣⎦都成立，求实数a 的取值范围．数学参考答案题号123456789101112答案C D C C D B A D D D A C13.35014.1215.16π16.817.解：（1）由已知得：123132712a a aa a a++=⎧⎨+-=⎩，解得22a=…………………………2分设数列{}n a的公比为q，由22a=，可得12aq=，32a q=，（2）由（1）得22124n nna+==，由于421logn nb a+=，1n=，2，，4log4nnb n∴==． (7)分()1223341111111112231n nb b b b b b b b n n-∴++++=+++⨯⨯-1111111111223341n n n=-+-+-++-=--………………………………………10分18.解：（1）从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是843015=，所以估计此次调查中，该单位约有490024015⨯=名员工的得分大于45分．…4分（2）依题意，完成22⨯列联表如下：……………………………………………………8分（3）假设0H ：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得2K 的观测值()2301211348.571 6.63515151614k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，查表得()2 6.6350.010.8P K ≥= (10)分∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满足有关．……………………12分19.解：（1）()32cos 21f x x x =++3122cos 212sin 2126x x x π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭………………………3分 2sin 12sin 121241264f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………5分（2）由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈ 得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈()f x ∴在区间,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）上是增函数……………………8分当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在区间[],m m -上是单调递增函数，则[],,36m m ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦ ………………………10分 630m m m ππ⎧≤⎪⎪⎪∴-≥-⎨⎪>⎪⎪⎩，解得06m π<≤m ∴的最大值是6π ………………………12分20.解：证明：（1）过B 作BOCD ，交AD 于O ，连接OP ．AD BC ，90ADC BCD ∠=∠=︒，CDOB ，∴四边形OBCD 是矩形，OB AD ∴⊥．2OD BC ==，4PD =，60PDA ∠=︒，222cos 6023OP PD OD PD OD ∴=+-︒=．…………2分222OP OD PD ∴+=，OP OD ∴⊥．又OP ⊂平面OPB ，OB ⊂平面OPB ，OP OB O =， AD ∴⊥平面OPB ，……3分PB ⊂平面OPB ，AD PB ∴⊥．………………………5分（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，OA AD ⊥，OP ∴⊥平面ABCD ．以O 为原点，以OA ，OB ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，…………………7分 如图所示：则()3,0B ，()3,0C -，假设存在点(),0,M m n 使得二面角M BC D --的大小为6π，则()3,MB m n =--，()2,0,0BC =-．设平面BCM 的法向量为(),,n x y z =，则0m BC m MB ⎧=⎪⎨=⎪⎩．2030x mx nz -=⎧⎪∴⎨--=⎪⎩，令1y =得30,1,n ⎛= ⎝．………9分 OP ⊥平面ABCD ，()0,0,1n ∴=为平面ABCD 的一个法向量．…………………10分233cos ,231m n n m n m nn∴===+．……………………11分 解得1n =．123163623PM PO PA PO ---∴===．…………………12分 21.解：（1）抛物线1C 的焦点()0,1F ，椭圆2C 的左焦点()12,0F -，则13FF =．……………………2分（2）设直线AB ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由2,4,y kx m x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=， 故124x x k +=，124x x m =-．………………………4分 由24x y =，得2x y '=， 故切线PA ，PB 的斜率分别为12PA x k =，22PB xk =，………………………5分 再由PA PB ⊥，得1PA PBk k =-，即1212412244x x x x mm -===-=-，故1m =，这说明直线AB 过抛物线1C 的焦点F ．……………………6分由21122224,24x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得1222x x x k +==， 222111121121121244444x x x x x x x x y k kx x +=-=-=-==-，即()2,1P k -．……………………………………8分 于是点()2,1P k -到直线AB ：10kx y -+=的距离22211d k k ==++由221,1,42y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2212420k x kx ++-=，从而()()()()222222244122814111212k k k CD k k k k -+-+=+=+++，同理，()241AB k =+………………………10分若AB ，d ，CD 成等比数列，则2d AB CD =， 即()()()2222228142141112k k k k k ++=+++，化简整理，得42283670k k ++=，此方程无实根，所以不存在直线AB ，使得AB ，d ，CD 成等比数列………………………12分22.解：（1）()2g x x '=，()()ln F x tf x t x ==，()()t F x tf x x''==， ()()F x tf x =与()21g x x =-在点1x =处有共同的切线l ，()()11k F g ''∴==，即2t =，……………………………4分（2）令()()h x f x x =-，则()111x h x x x-'=-=， 则()h x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，()h x ∴的最大值为()11h =-，()h x ∴的最小值是1，…………………………6分设()()1ln 122f x x G x x x =+=+，()21ln x G x x -'=， 故()G x 在()0,e 上是增函数，在()e,+∞上是减函数，故()max 111e 2G x =+<， ()()12f x f x x x ∴->+；………………………8分 （3）不等式()mf x a x ≥+对所有的30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦都成立， 则ln a m x x ≤-对所有的30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦都成立， 令()ln H x m x x =-，30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦是关于m 的一次函数， 21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，[]ln 0,2x ∴∈，∴当0m =时，()H m 取得最小值x -，即a x ≤-，当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，恒成立，故2e a ≤-．……………………………12分。