V1
2 2 V j2 V11 V21 110.7 2 19.2 2 112.4 kN 1 j 1
m
V2
2 2 V j22 V12 V22 69.82 (18.3) 2 72.2 kN j 1
m
27
例题3-5-1解答——续
5. 层间地震剪力图
i 1
i 1 n
(3.66)
i i
15
（2）确定地震参数
由设防烈度查表得 max
由场地类别和特征周期分区查表得 Tg
由图3.9地震影响系数曲线得 1
（3）计算底部剪力
Geq 0.85 Gi
n
(3.107)
FEk 1 Geq
i 1
(3.106)
16
（4）是否考虑顶部附加地震作用
第三章4
底部剪力法 竖向地震计算 平扭耦合地震反应与双向水平地震影响
1
§3.5.2 底部剪力法

底部剪力法是一种简化方法。是在振型分 解反应谱法基础上得到的简化方法。 底部剪力法也是《抗震规范》规定的计算

地震作用的基本方法之一。
2

多自由度体系按振型分解反应谱法求地震作用时需要计算 结构的各个自振频率和振型，运算较繁。
20
例题3-5-1解答——续
计算各振型对应的周期： 2 T1 0.358 s 1 17.54 2 T2 0.156 s 2 40.32 2. 确定地震参数 2 2
由设防烈度8度查出 max 0.16
由I类场地和一区查出 Tg 0.25
21
例题3-5-1解答——续
n
FEk
j
( i 1,2,, n )
值得注意的是： 上式仅适用于基本周期 T1 1.4Tg 的结构。
9
3. 顶部附加地震作用ΔFn
由于（3.108）式仅适用于基本周期 T1 1.4Tg的结构。 对于T1 1.4Tg时，由于高振型的影响，如按式（3.108） 计算，则结构顶部的地震剪力偏小，故需要调 整。
（四）地震作用分布
Fi
G H
j 1 n j j 1
n
j
GjH 2 j
n
G i H i1

( G j H j ) 2
j 1
( G j H 2 )( G j ) j
j 1 j 1
n
n
( G j )j 1nGi H iG H
j 1 j
n
1
j

Gi H i
G H
j 1 j
G2
X2
k2
G1
X1
k1
2
已知：m1 60t，m2 50t
X1 1 0.02156 X 2 1 2 0.02156 0.01633 0.03789
k1 5104 kN m
k 2 3 104 kN m
30
例题3-5-2解答——续

采用能量法公式计算：
31
例题3-5-2解答——续

修正计算：
先计算各质点的惯性力：
I1 12 m1 X 1 60 0.0216512 1.29912 I 2 12 m2 X 2 50 0.0378912 1.894512
再计算惯性力作用下质点的位移：
I1 I 2 (1.299 1.8945)12 1 0.638712 104 k1 5 104 I 2 1.894512 2 0.631512 104 k2 3 104

为了简化计算，底部剪力法的适用条件：
１、结构质量和刚度沿高度分布比较均匀，地震作用时
的扭转效应可忽略不计。 ２、房屋总高度不超过40m。 ３、结构在地震作用下的变形以剪切变形为主。 ４、近似于单质点体系(等效单质点体系）的结构。
3
2. 各质点的水平地震作用

当建筑物高度不超过40m，以剪切变形为主、且质量和
Fn
mn
1n
由于第1振型为倒三角形，则
11
H1

1i
Hi

1n
Hn
(b)
c
Fi
mi
1i
Hi
Hn
1i c H i
F1
m1
11
H1
5
Fi F1i 1 11i Gi
n
(c)
M 1 G 1T 1 M 1 1i 1 i
如果T1 1.4Tg ，则 n 0
如果T1 1.4Tg ，则 n 查表3 4。
顶部附加地震作用Fn为： Fn n FEk
（5）计算各质点上水平地震作用
Fi H i Gi
H G
j 1 j
n
FEk (1 - n )
j
(3.109)
( i 1, 2, , n )
刚度沿高度分布比较均匀时，结构振动往往以第一振型 为主，而且基本振型接近于直线（即倒三角形）。

因此，底部剪力法采用如下假定：
（1）计算时仅取第一振型。 （2）第一振型为倒三角形。
4

根据振型分解反应谱法，对于第1振型第 i 质点的水平地
震作用为：
Fi F1i 1 11i Gi

(a)
j 1 j
n j 1
n
j 1 n
j
j
2 i 1 j
G H
i i
n
1

( G j H j ) 2 ( G j H 2 )( G j ) j
j 1 j 1 n n
( Gi )1
i 1
n

( G j H j ) 2
j 1
n
( G j H )( G j )
j 1 2 j j 1
Tg (s) <0.35 0.35-0.55 T1 >1.4 Tg T1 1.4 Tg
>0.55
n= 0.08 T1 +0.07 n= 0.08 T1 +0.01 n= 0.08 T1 -0.02
n= 0
11

调整后的水平地震作用计算公式
Fi H i Gi
H G
j 1 j
n
FEk (1 - n )
23
例题3-5-1解答——续
（3）计算水平地震作用
F1i 1 1 X 1i Gi
( i 1, 2 )
F11 1 1 X11G1 0.1158 1.23 0.488 60 9.8 40.9 kN F12 1 1 X12G2 0.1158 1.23 1 50 9.8 69.8 kN
（4）计算第1振型时的层间地震剪力
由式V1i F1k 得： V11 F11 F12 110.7 kN
k i
n
V12 F12 69.8 kN
24
例题3-5-1解答——续
第 2 振型
( 1 ) 确定地震影响系数 2
因为0.1s T2 0.156s Tg 0.25s 所以取反应谱的水平段： 2 max
m2 50t
k 2 3 104 kN m
m1 60 t
k1 5104 kN m
19
例题3-5-1解答
1. 求结构动力特性
由频率方程： [k ] 2 [m] 0 求得： 1 17.54 rad / s
2 40.32 rad / s
由振型向量方程 ( [k ] 2 [m] ) X j 0 j X 11 0.488 X 21 1.710 求得振型： 和 X 12 1.000 X 22 1.000
2 mi ui2 g mi ui
i 1 i 1 n n
T1
1
2
60 0.02165 2 50 0.03789 2 2 0.355 s 9.8 (60 0.02165 50 0.03789)
该结果与采用频率方程得到的结果相比，有误差。 为了提高精度，作如下修正计算。
17
（6）计算层间剪力
Vi Fk
k i n
( i 1, 2,, n )
绘制层间地震剪力图。
（7）顶部小屋的地震作用FD
FD 3Fn
这时顶部附加地震作用Fn应加在主体结构的顶部。
18
举例

例题3-5-1 图示框架结构。设防烈度为8度，I类建筑场地，特征周期 分区为一区。试用振型分解反应谱法计算该框架的层间地 震剪力。
3. 对各个振型计算水平地震作用
第1 振型
(1) 确定地震影响系数1
因为Tg T1 5Tg Tg 所以取反应谱的曲线下降段： 1 T 1 取阻尼系数 0.05，则 0.9 max

22
例题3-5-1解答——续
Tg 因此： 1 T 1
j
(3.109)
( i 1, 2, , n )
12
4. 鞭梢效应

当建筑物有突出屋面的小屋时，由于这部分的重量和 刚度突然变小，地震时将产生“鞭梢效应”， 使得突
出屋面的小屋的地震特别强烈。

因此规范规定： 当采用底部剪力法计算时，顶部小建筑的地震作用 效应应乘以3，增大的部分不往下传。
13
0.25 max 0.16 0.1158 0.359
0.9

（2）计算振型参与系数
1
m X
i 1 n i 1 i
n
1i
mi X 12i
60 0.488 50 1 1.23 2 2 60 0.488 50 1