阶段质量检测（一）（时间：90分钟满分：120分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．(陕西高考)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为()2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面B．相交C．相交或异面D．平行或异面3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1D14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10π C．11πD．12π5．设a，b是两条直线，α、β是两个平面，则下列命题正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．α∥β，a∥α，则a∥βC ．若α⊥β，a ⊥β，则a ⊥αD ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β6．如图，设P 是正方形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，则平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 的位置关系是( )A ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都垂直 B ．它们两两垂直C ．平面P AB 与平面PBC 垂直，与平面P AD 不垂直 D ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都不垂直7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π8．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶59．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316B.916C.38D.93210．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有________个．12．(安徽高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．13．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球________S正方体(填“>”、“<”或“＝”)．14．(湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)15．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，CD，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．16.(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE ＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE.18．(本小题满分14分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．答案1. 解析：选B左视图中能够看到线段AD1，画为实线，看不到线段B1C，画为虚线，而且AD1与B1C不平行，投影为相交线．2. 解析：选C如图所示，l1与l2为异面直线，直线AB、CD均与l1、l2相交，则AB 与CD的位置关系为相交或异面．3. 解析：选B∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1C1C.又CE 平面AA1C1C，∴CE⊥BD.4. 解析：选D该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1的球，其表面积是2π×1×3＋2×π×12＋4π×12＝12π.5. 解析：选D A中，b有可能在α内；B中，a有可能在β内；C中，a有可能在α内．6. 解析：选A∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC.又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB.由AD⊥P A，AD⊥AB，P A∩AB＝A，得AD⊥平面P AB.∵AD 平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB . 由已知不能推出平面PBC 与平面P AD 垂直． 7. 解析：选C 设正四棱柱的底边长为a ，则 V ＝a 2·h ，∴16＝a 2×4，∴a ＝2.由球和正四棱柱的性质可知，球的直径为正四棱柱的对角线． ∴R ＝1222＋22＋42＝6，∴S ＝4πR 2＝24π.8. 解析：选C 设上底面积为S ，则下底面积为4S ，再设台体高为h ， ∴V 台＝13h (S ＋4S ＋S ·4S )＝73Sh ，又∵ VCEF －A 1B 1C 1＝Sh ，∴两部分的比为Sh ∶⎝⎛⎭⎫73Sh －Sh ＝3∶4. 9. 解析：选A 如图所示，设球的半径为R ，由题意，知OO ′＝R 2，OF ＝R ，∴r ＝32R .∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎫32R 2＝3π4R 2.又S 球＝4πR 2， ∴S 截面S 球＝3π4R24πR 2＝316. 10. 解析：选A 如图，由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a ，A ′B ＝3a . ∴在Rt △BB ′A ′中得A ′B ′＝a ， ∴AB ∶A ′B ′＝2∶1.11. 解析：由面面垂直的判定知，作过此直线的任一平面都符合题意． 答案：无数12. 解析：根据该几何体的三视图可得其直观图如图所示，是底面为直角梯形的直四棱柱，且侧棱AA 1＝4，底面直角梯形的两底边AB ＝2，CD ＝5，梯形的高AD ＝4，故该几何体的体积V ＝4×⎝⎛⎭⎫2＋52×4＝56.答案：5613. 解析：设球的半径为R ，正方体的棱长为a ， 则43πR 3＝a 3，∴a ＝ 343π·R ， ∴S 正方体＝6a 2＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫343π·R 2＝4·36π2·R 2>4πR 2， 即S 球<S 正方体． 答案：<14. 解析：圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V ＝13πh ·(r 2中＋r 2下＋r 中r 下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π，降雨量为V 142π＝3×196π196π＝3. 答案：315. 证明：因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是一个平面图形， 即AB ，CD 确定一个平面β，则AB β，AD β， 因为E ∈AB ，所以E ∈β. 因为H ∈AD ，所以H ∈β. 又因为E ∈α，H ∈α， 所以α∩β＝EH .因为DC β，G ∈DC ，所以G ∈β. 又因为G ∈α，所以点G 在α与β的交线EH 上． 同理，点F 在α与β的交线EH 上， 所以E ，F ，G ，H 四点共线．16. 解：(1)如图，取BD 的中点O ，连接CO ，EO .由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .17. 证明：(1)因为BM ⊥平面ACE ，AE 平面ACE ， 所以BM ⊥AE .因为AE ⊥BE ，且BE ∩BM ＝B ，BE 、BM 平面EBC ，所以AE ⊥平面EBC . 因为BC 平面EBC ， 所以AE ⊥BC .(2)法一：取DE 中点H ，连接MH 、AH .因为BM ⊥平面ACE ，EC 平面ACE ，所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ， 所以M 为CE 的中点． 所以MH 为△EDC 的中位线， 所以MH12DC . 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以DC AB . 故MH12AB . 因为N 为AB 的中点，所以MHAN .所以四边形ANMH 为平行四边形，所以MN ∥AH . 因为MN 平面ADE ，AH 平面ADE ， 所以MN ∥平面ADE .法二：如图，取EB 的中点F ，连接MF 、NF .因为BM ⊥平面ACE ，EC 平面ACE ， 所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ， 所以M 为CE 的中点， 所以MF ∥BC . 因为N 为AB 的中点， 所以NF ∥AE ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AD ∥BC . 所以MF ∥AD .因为NF 、MF 平面ADE ，AD 、AE 平面ADE ， 所以NF ∥平面ADE ，MF ∥平面ADE . 因为MF ∩NF ＝F ，MF 、NF 平面MNF ， 所以平面MNF ∥平面ADE . 因为MN 平面MNF ， 所以MN ∥平面ADE .18. 解：(1)几何体的直观图如图．四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且垂直于底面BB 1C 1C ，∴其体积V ＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥AC .∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴BC ⊥CC 1.∵AC ∩CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1. (3)当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF平面AB 1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。