R&D经费占GDP的比重
X2对人均地区生产总值Y1的影 响大于每万人中的科学家、工程师人数X1对人均地区 生产总值Y1的影响； 每万人中的科学家、工程师人数X1 ，对发明专利授权 数Y2的影响大于R&D经费占GDP的比重X1对发明专利 授权数Y2的影响。
实例2


对产品的绿色属性评价是绿色制造决策中的重要 问题。这里以冰箱的绿色评价为例介绍灰色关联 分析的具体应用。 表1为冰箱绿色评价指标体系，表2为待评价冰箱 的各评价指标值。其中产品1，2，3为三种具体的 产品，而产品4是在各评价指标都取最优值的情况 下虚拟的参考产品。以三个产品为子因素，以参 考产品为母因素，以每个指标为一个观测点，即 m=3，n=15,采用灰色关联分析方法,可以计算出 每一个产品相对于参考产品的关联度。表3为三种 产品的点关联度。
2、一般的加权灰色关联分析

假设一个系统的母因素为Y，而子因素有m 个，分别记为 X i (i 1,2,, m)。假设已经 得到了n个点，母因素Y和子因素 X i (i 1,2,, m) 的观测数据如下： x x x
11 12 1n
x 21 x m1 y1
x 22
x2n
x m 2 x mn y2 yn
3、关于加权灰色关联分析模型的注记
纵观以往的加权灰色关联分析模型，我们认为至少存在两 点不足： 1)权系数的确定由于没有统一的方法，而使得获得的权重 未必客观，表现出很大的主观性，于是导致计算出关联度 未必客观准确； 2)权全系数一旦被确定，则适用于所有因素的关联度计算， 即计算每一个子因素相对于母因素的关联度时使用的都是 同一组权重，因此这种加权属于“均一化”加权，而没有 体现出评价的“最优性”与“公正性”。 鉴于此，有必要探讨变权的灰色关联分析模型。
40% 42%
表3 点关联度
观测点 产品1 产品2 产品3 1
1
2
0.796
3
1
4
0.999
5
0.813
6
0.992
7
0.979
8
0.97
9
1
10
1
11
0.992
12
0.999
13
0.999
14
0.999
15
0.999
0.764
0.986
0.795
0.958
0.98
0.724
0.416
0.907
0.921
2、一般的加权灰色关联分析

将以上数据重新处理，并引入新的记号为：
x1k x (k ) , k 1,2,, n x1
( 0) 1
x2 k x (k ) , k 1,2,, n x2
(0) 2

xmk x (k ) , k 1,2,, n xm
( 0) m
其中 x i 为第i个 子因素n个观测 数据的平均值。
有 毒 材 料 比 例
有 害 材 料 比 例
使 用/ 生 产 成 本
社 会/ 生 产 成 本
效 能 比
能 源 利 用 率
材 料 利 用 率
材 料 回 收 率
0.006
0.003
0.11
0.12
0.008
43
62
0.1%
0.8%
6.5%
2%
0.86
60%
75%
42%
2
3 4
0.005
0.0045 0.0045
0.978
0.849
0.992
0.517
0.618
0.604
0.761
0.994
0.914
0.960
0.997
0.333
0.653
0.914
0.917
0.971
0.869
0.844
0.424
0.484
0.748

最后按算术平均法,计算得到三种产品的关联度依 次为：0.969，0.800，0.786，这说明产品1的绿 色属性最好。如果按照适当方法确定了15个指标 的权重,也可以计算三种产品的加权关联度。
( 0) 0 ( 0) 0 ( 0) 0


( 0) x Y 为母因素 其中 0 (k ) yk / Y , k 1,2,, n ，
n个观测数据的平均值。
2、一般的加权灰色关联分析
令 M {1,2, , m} ，N {1,2, , n} 记 min min x (0) (k ) x (0) (k ) 1 0 i iM kN
从而
第5步计算Y1与X1
， X2的灰色关联度
（2）先计算Y2,与X1 ， 按照上述步骤可求得
X2的关联度。
关联度

可得到关联矩阵
0.531 0.603 R 0.624 0.489

分析：
0.531 0.603 R 0.624 0.489

2、一般的加权灰色关联分析

为求总的关联度，需要考虑不同的观测点 在总体观测中的重要性程度。假定已经给 出各点的权系数向量为 w (w1 , w2 ,, wn ) 满足 wk 0, k N， wk
n
k 1 n

1
则令 r0i wk d 0i (k ), i M 。

试分别以Y1 、Y2为系统特征行为数据序列，X1、X2 为相关因素序列，计算灰色关联度。

解：
（1）先计算Y1,与X1 ，
X2的关联度。 第1步求初值像，根据公式
得到
再根据公式
可得
第2步求差序列
根据公式 可得

第3步求两极差。
第4步求关联系数。取λ
=0. 5有

2
max max x
iM kN
( 0) 0
(k ) xi( 0)
(k )
(0) 3 x0 ( k ) xi( 0 ) ( k )
1 2 d 0i (k ) , k 1,2,, n 3 2
2、一般的加权灰色关联分析
式中，d 0i (k ) 是第k个点的子因素Xi与母因素 X0的相对差值。 ) 当绝对差值Δ3 越大时，d 0i (k越小；反之， d 0i (k ) 越大。因此， d 0i (k ) 的大小描述了Xi对 X0的影响程度，称之为Xi与X0在k处的点关 联度。式中λ 为分辩系数，一般在0与1之 间选取，常取λ =0.5。
用 户 成 本/ 生 产 成 本
环 境 费 用/ 生 产 成 本
表2 冰箱的各个评价指标值
指 标 名 称 CFC CO2( SO2( s(mg mg/ mg/ /m3) m3) m3) 磷 (mg/ L) 输入指标 输出指标
冰 箱 编 号
1
使 生 悬 用 产 浮 噪 噪 物 声 声 (mg (d (d /L) B) B)


色评价指标层次结构
目 标 层 大气污染 产品“绿色”程度 环境属性 水体污染 噪声污染 能源属性 资源属性 经济属性
指 标 层
二 氧 化 碳
二 氟 氧 化 铅 化 物 硫
镉
耗 使用 生产 电 噪声 噪声 量
能 源 利 用 率
材 料 利 用 率
材 料 回 收 率
有 毒 材 料 比 率
有 害 材 料 比 率
第二章 系统因素分析方法--灰色 关联分析
吉林大学 杨印生
基本结构

引言（Introduction） 一般的加权灰色关联分析 评价实例 关于加权灰色关联分析模型的 注记
1、引言

灰色系统方法自20世纪80年代初由邓聚龙 教授提出以来，已成功地被应用于许多领 域，而且形成了自己的理论体系。灰色关 联分析作为一种因素辨识和解析的工具， 是非常典型的系统分析方法。最初的关联 分析模型是先计算各点的关联系数，然后 采用算术平均的手段得到各子因素相对于 母因素的关联度。后来人们为了刻划不同 点关联系数的重要程度，又提出了加权灰 色关联分析方法。
0.005
0.004 0.003
0.15
0.13 0.11
0.10
0.09 0.09
0.01
0.007 0.007
45
46 43
65
66 62
1.5%
1.4% 0.1%
2%
2.1% 0.8%
7%
6.4% 6.4%
4.5%
4.2% 2%
0.9
0.94 0.86
50%
45% 60%
70%
65% 75%
35%
2、一般的加权灰色关联分析

于是得到m个序列：
2 ( 0) 2 ( 0) 2
X x (1), x (2),, x X x (1), x (2),, x
m ( 0) m ( 0) m
X1 x1(0) (1), x1(0) (2),, x1(0) (n)
( 0) 2
(n)

( 0) m
(n)
这一过程称为数据的均值化。由于实际数 据中，不同因素的数据常具有不同的量纲，为 对它们进行比较、分析，首先应对数据通过均 值化过程消除量纲的影响。
2、一般的加权灰色关联分析

同样，对母因素Y的n个数据也需要均值化， 可得一个序列记为：
X 0 x (1), x (2),, x (n)

即为子因素Xi对X0的关联度，它反映了因 素之间的关系的密切程度。于是将关联度 按大小排列就可以看出子因素对母因素的 影响程度。
k 1
2、一般的加权灰色关联分析