广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每空3分，本大题满分18分）1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB 101.2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A的 左边乘三阶阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021010100.3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R 0 .4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a 2-.5．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231131211333a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A 2-.二、选择题（每小题3分，本大题满分15分） 1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ C ）. （A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.2．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。

若存在三阶阵O B ≠，使得O AB =，则（ C ）.（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ； （C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解的（ B ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( C ).(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( A )成立.(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组; (C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R 三、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .解：由于X A AX 2+=，则A X E A =-)2(，这样A E A X 1)2(--=--------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-321011330121011332),2(M M MA E A ------------------------------------------5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→321330011121332011M M M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→300352011110310011M M M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→011352011100310011M M M⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→011321330100010001M M M,-----------------------------------------------------10分 则=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011321330-----------------------------------------------------------12分四、（本题满分8分）计算行列式6741212060311512-----.解：216741212060311512r r ↔=-----6741212015126031----------------------------------------3分1312)1()2(r r r r ⨯-+⨯-+= 12772120135706031------12772121357----=------------------------------------5分120212135713)1(-----=⨯-+r r 1202121357--=2213721257---=27=---------------------8分 五、（本题满分6分）设PB AP =,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A . 解: 1||-=P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1121*P ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11211P .----------------------2分由PB AP =得1-=PBP A ,----------------------------------------------3分于是11010-=P PB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11211002112110-------------------------4分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112110010241121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11211102421024⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2047102320461022--------6分六、（本题满分10分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-08303205432143214321x x x x x x x x x x x x 的所有解.解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=181332111511A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−00002271012301r ,--------------------------6分原方程组的同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++022723432431x x x x x x ,----------------------------8分分别令0,143==x x 和1,014==x x ，求得基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0127231ξ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10212ξ,----------------------------------------------9分则方程组的所有解为2211ξξk k +,这里21,k k 为任两个实数. ------------10分 七、（本题满分10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==43333320126624220121),,,,(54321αααααA . 1) 求矩阵A 的行最简形和秩;2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.解: 1) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=43333320126624220121A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−0000311000910321091603101r,------------3分 则3)(=A R .-------------------------------------------------------------5分2) 向量组54321,,,,ααααα的一个最大无关组为421,,ααα ------------------7分2133231ααα+=,42153191916αααα--=------------------------------------------10分八、（本题满分9分）设A 为2阶方阵，且存在正整数)2(≥l l ,使得O A l =,证明: 1) A 的秩1≤. 2) O A =2.证明：1）由于O A l =，则A 不可逆，即A 不是满秩阵。

-------------2分 而A 为2阶方阵，于是1)(≤A R 。

------------------------------------4分 2）若0)(=A R ，则O A =，于是O A =2。

---------------------------5分若1)(=A R ，则),(d c b a A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，-----------------------------------6分于是444344421Λll d c b a d c b a A ),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),()(1d c b a bd ac l ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-A bd ac l 1)(-+=，因为O A l =，则O A bd ac l =+-1)(。

又因为1)(=A R ，则O A ≠，于是0)(1=+-l bd ac ，则0=+bd ac ，这样O A bd ac A =+=)(2。

----------------------------------------------9分九、（本题满分12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 的特征值和特征向量.解: 方阵A 的特征多项式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-122212221||λλλλA I ------------------------------2分=)5()1(2-+λλ，方阵A 的特征值为121-==λλ,53=λ.----------------------------------6分解方程组0)(=--x A I . 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=--222222222A I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−000000111r ，得基础解系T)1,0,1(1-=ξ,T)0,1,1(2-=ξ. 因此，方阵A 对应于121-==λλ的全部特征向量为2211ξξk k + (21,k k 不同时为零). --------------------------------9分解方程组0)5(=-x A I . 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-4222422245A I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−000110121r ，得基础解系T)1,1,1(=η.因此，方阵A 对应于53=λ的全部特征向量为ηk (k 不为零).----------------------------------------------12分。